3. Плоскости, касательные к поверхностям

Е сли через произвольную точку М кривой поверхности Б (рисунок 141) провести произвольные линии α,b и c, принадлежащие этой поверхности, а затем к этим кривым в точке М построить касательные прямые tα, tb и tc, то все касательные прямые будут лежать в одной плоскости Е, называемой касательной плоскостью к поверхности.

Следовательно, касательная плоскость является геометрическим местом всех касательных, проведенных к данной кривой поверхности и проходящих через одну ее точку.

Д ля построения касательной плоскости к поверхности в ее точке М достаточно через эту точку провести на поверхности только две кривые линии α и b, и к ним построить касательные прямые tα и tb. Две эти касательные прямые и определяют касательную плоскость Е. Вполне естественно, что в качестве таких кривых линий поверхности выбирают ее графически простые линии. Например, для линейчатых поверхностей одной из этих кривых может служить ее прямолинейная образующая, (она будет совпадать со своей касательной), а для поверхности вращения – ее параллель (окружность). В зависимости от вида поверхности касательная плоскость может касаться ее в одной точке (рисунок 141 – сфера), по прямой линии (рисунок 142а – конус), по кривой линии (рисунок 142б – тор).

В приведенных примерах поверхность располагается по одну сторону от касательной плоскости и не пересекается последней. Однако касательная плоскость может и пересекать поверхность. Так, плоскость Е, касательная к однополостному гиперболоиду, пересекает его по двум образующим α и b, которые при этом являются и касательными tα и tb, определяющими касательную плоскость Е (рисунок 143).

Рассмотрим примеры построения касательной плоскости к различным поверхностям.

Пример 1. Построить плоскость Е, касательную к поверхности вращения в ее точке М (рисунок 144).

В качестве двух кривых линий поверхности, касательные к которым определят искомую плоскость Е, выберем параллель h и меридиан α, проходящие через точку М.

Параллель h является окружностью, расположенной горизонтально, и построение касательной th к ней не составляет труда. Для построения касательной tα к меридиану α предварительно преобразуем чертеж, повернув меридиан вокруг оси поверхности вращения до фронтального положения α1. При этом точка М займет положение М1. Теперь построим касательную tα к фронтальному меридиану α1 в его точке М1 и, произведя обратное вращение, получим искомую касательную к меридиану α.

Касательная к поверхности вращения плоскость Е определяется двумя пересекающимися прямыми th и tα.

Пример 2. Построить плоскость Е, касательную к поверхности конуса в его точке М (рисунок 145).

Т ак как конус – поверхность линейчатая, то, проведя через точку М образующую t (являющуюся в то же время и касательной), получим одну из прямых, определяющих искомую плоскость Е. Второй прямой будет касательная th к окружности на поверхности конуса h в ее точке М.

Отметим, что касательная th параллельна касательной t1, проведенной в точке N к окружности основания конуса. Поэтому искомую касательную плоскость Е можно задать образующей t и касательной t1, не строя вспомогательной окружности h, проходящей через точку М.

Пример 3. Построить касательную к цилиндрической поверхности плоскость Е, проходящую через точку А, расположенную вне поверхности цилиндра (рисунок 146).

Поскольку искомая касательная плоскость должна содержать в себе образующую цилиндрической поверхности, то в качестве первой прямой, определяющей касательную плоскость, можно провести через данную точку А прямую α параллельную образующей цилиндра.

Если теперь провести через точку В (точку пересечения прямой α с плоскостью Г) касательные к окружности основания цилиндра прямые t1 и t2, то прямая α и касательные t1 и t2 определят две касательные плоскости Е(αхt1) и К(αхt2). Эти плоскости касаются поверхности цилиндра с разных сторон по его образующим т1 и т2.