- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.3.5. Асимметрия и эксцесс
Данные характеристики целесообразно использовать для исследования вариационных рядов с большим объемом совокупности. Асимметрия и эксцесс являются одними из моментов q-го порядка отклонений величин вариантов от их среднего арифметического значения, среднего весового значения, математического ожидания или любой другой постоянной величины.
Если отклонения определены относительно некоторой постоянной величины, отличной от среднего арифметического, среднего весового или математического ожидания, то вычисленные моменты q-го порядка называют условными.
Общая формула для вычисления моментов q-го порядка имеет вид:
, (1.51)
где хi – элементы вариационного ряда; С – постоянное число; n – объем совокупности; ki – частота данного элемента вариационного ряда; q – степень; αk – момент q-го порядка.
При С = 0 получают т.н. начальные моменты q-го порядка.
. (1.52)
Например, начальный момент 1-го порядка
(1.53)
называют средним взвешенным, средним весовым, средним арифметическим, начальный момент 2-го порядка
(1.54)
называют средним квадратическим, («минус»1–го порядка – средним гармоническим) и т.п.
При С, равном среднему арифметическому, среднему весовому, математическому ожинанию по формуле (1.51) вычисляют моменты, которые называют центральными.
Центральный момент 1-го порядка
= 0. (1.55)
Центральный момент 2-го порядка
(1.56)
называется дисперсией.
Центральный момент 3-го порядка
(1.57)
используется для оценки асимметрии.
Центральный момент 4-го порядка
(1.58)
используется для оценки эксцесса.
Понятия асимметрии и эксцесса иллюстрируются на рис. 1.2.
Следует иметь в виду, что асимметрия и эксцесс – параметры относительные. Они определяются обычно относительно симметричных распределений, в частности, относительно нормального распределения, для которого асимметрия А = 0 и эксцесс Е = 0.
Рис. 1.2. Асимметрия и эксцесс кривых распределения:
а – асимметрия (А); б – эксцесс (Е)
Показателем асимметрии является величина
. (1.59)
Показателем эксцесса является величина
. (1.60)
Как уже говорилось выше, для симметричных распределений среднее арифметическое (весовое, математическое ожидание), медиана Ме и мода Мо равны друг другу, а асимметрия А равна нулю. Эксцесс Е равен нулю только для нормального распределения.
Для положительных значений А (А > 0) кривая распределения смещена вправо (правосторонняя асимметрия), для отрицательных значений А (А < 0) кривая распределения смещена от симметричного положения влево (левосторонняя асимметрия).
Для положительных значений Е (Е > 0) кривая распределения становится островершинной, а для отрицательных значений Е (Е < 0) – кривая распределения выполаживается, «расползается», относительно кривой нормального распределения.
Для асимметрии и для эксцесса используются оценки надежности получения их величин.
Для асимметрии
. (1.61)
Для эксцесса
(1.62)
При распределении, например, по нормальному закону, допустимые значения А и Е не должны превышать 3mA(E). Если такое условие не выполняется, то полагают, что данное распределение не подчиняется нормальному закону.
Пример 1.12. Вычислить асимметрию и эксцесс для интервальных рядов, представленных в табл. 1.3, 1.4 и 1.5.
Решение. Для вычислений воспользуемся формулами (1.55 – 1.58), преобразованными для частостей:
= 0. (1.63)
(1.64)
(1.65)
, (1.66)
в которых .
Табл. 1.3.
Асимметрию вычисляем по формуле (1.59), эксцесс – по формуле (1.60):
;
Оценка асимметрии: mA = 0,26; 3mA = 0,79.
Оценка эксцесса: mE = 0,50; 3mE = 1,50.
Полученная оценка говорит о том, что данное распределение отличается от нормального.
Поскольку А > 0, то распределение показателя (содержания) следует считать с правосторонней асимметрией. Поскольку Е < 0, то распределение следует считать более пологим по сравнению с нормальным распределением.
Табл. 1.4.
.
.
.
Асимметрию вычисляем по формуле (1.59), эксцесс – по формуле (1.60):
;
Табл. 1.5.
.
.
.
Асимметрию вычисляем по формуле (1.59), эксцесс – по формуле (1.60):
;