- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
На рис. 1.8 представлены результаты сглаживания экспериментальных данных, выполненного в примерах 1.23 – 1.26 линейной (1.81), показательной (1.88), степенной (1.95) и параболической (1.101) функциями. Сглаживающие функции построены по соответствующим указанным формулам.
Для выбора наиболее подходящей сглаживающей функции по условию (1.75) необходимо выполнить вычисление ее значений на значениях абсцисс (m), получить разности (CФункции - СЭксп) = Δ, возвести полученные разности в квадрат и вычислить сумму квадратов разностей для каждой из функций. Минимальная сумма квадратов разностей покажет наибольшее правдоподобие сглаживающей функции.
Выполним эту процедуру для полученных в примерах 1.14 – 1.17 сглаживающих функций (см. табл. 1.18).
Таблица 1.18
Оценка правдоподобия сглаживающих функций
№№ кл. |
m |
C |
линейная |
показательная |
степенная |
параболическая |
||||||||
С |
Δ |
Δ2 |
С |
Δ |
Δ2 |
С |
Δ |
Δ2 |
С |
Δ |
Δ2 |
|||
1 |
0,4 |
99 |
108 |
+9 |
81 |
135 |
+36 |
1296 |
140 |
+41 |
1681 |
99 |
0 |
0 |
2 |
1,4 |
87 |
85 |
-2 |
4 |
85 |
-2 |
4 |
64 |
-23 |
529 |
87 |
0 |
0 |
3 |
2,0 |
75 |
71 |
-4 |
16 |
64 |
-11 |
121 |
51 |
-24 |
576 |
76 |
+1 |
1 |
4 |
2,8 |
63 |
52 |
-11 |
121 |
44 |
-19 |
361 |
42 |
-21 |
441 |
57 |
-6 |
36 |
5 |
3,2 |
51 |
43 |
-8 |
64 |
37 |
-14 |
196 |
38 |
-13 |
169 |
46 |
-5 |
25 |
6 |
3,2 |
39 |
43 |
+4 |
16 |
37 |
-2 |
4 |
38 |
-1 |
1 |
46 |
+7 |
49 |
7 |
3,6 |
27 |
34 |
+7 |
49 |
31 |
+4 |
16 |
36 |
+9 |
81 |
33 |
+6 |
36 |
8 |
4,2 |
15 |
20 |
+5 |
25 |
23 |
+8 |
64 |
32 |
+17 |
289 |
12 |
-3 |
9 |
|
|
|
|
0 |
376 |
|
0 |
2062 |
|
-15 |
3767 |
|
0 |
156 |
Как видно из табл. 1.18, более правдоподобно отражает функциональную зависимость содержания от мощности функция параболического вида. На втором месте по правдоподобию стоит линейная функция. Степенная и показательная зависимости менее подходят для сглаживания в данном случае.
Одним из критериев качества сглаживания, даже при небольшом правдоподобии, является равенство нулю сумм квадратов разностей. В трех рассмотренных нами случаях это условие соблюдается точно.