2.5.3. Нелинейная регрессия
Если корреляционная зависимость имеет общий вид
,
(2.74)
то ее можно представить в виде полинома
.
(2.75)
Степень т не может быть больше (n – 1), где n – число пар измерений. Однако и построение полинома степени (n – 1) является нецелесообразным, поскольку кривая регрессии будет проходить через все точки (xi , yi), т.е. будет представлять собой весьма сложную кривую, при этом закономерность будет искажена из-за наличия случайных погрешностей измерений. В связи с этим, с помощью метода наименьших квадратов, подбирают полином меньшей степени, который сгладит влияние погрешностей измерений.
Для установленного значения степени т полинома составляют систему нормальных уравнений вида:
(2.76)
Решая данную систему уравнений относительно коэффициентов аi, получают уравнение регрессионной кривой.
Для оценки погрешности аппроксимации данных эксперимента полученным уравнением регрессии предварительно определяют сумму квадратов разностей значений у с их значениями, полученными в результате расчета по уравнению регрессии, т.е. [(Δy)2]. Среднюю квадратическую погрешность аппроксимации данных вычисляют по формуле
.
(2.77)
Рассмотрим на примере порядок обработки данных для получения регрессионной кривой в виде полинома третьей степени.
Пример 2.15. На 3-х этажном кирпичном здании, находящемся в зоне влияния строительства подземного коллектора большого диаметра было установлено четыре стенных деформационных знака. 11.06 был проведен начальный (нулевой) цикл измерений, по результатам которого были определены исходные высоты деформационных знаков (241,6905 м, 241,6812 м, 241,6825 м и 241,6811 м) и определена условная средняя высота 241,6838 м. Каждую неделю выполнялись наблюдения за осадками здания, в результате которых определены средние условные высоты деформационных знаков (см. табл. 2.13). Составлен ряд значений х (число недель наблюдений относительно даты исходной 11.06) и у (средние значения осадок здания относительно исходной высоты 241,6838 м). По виду графика осадок предположено, что зависимость осадок от времени наблюдений (в неделях) имеет вид полинома 3-й степени: у = ах3 + bх2 + сх + d.
Определить значения коэффициентов полинома и определить погрешность аппроксимации данных измерений указанным полиномом.
Таблица 2.13
К примеру 2.15 (исходные данные)
Дата наблюдений |
Условная средняя высота, м |
Число недель (х) |
Осадка, мм (у) |
11.06 |
241,6838 |
|
|
18.06 |
241,6805 |
1 |
-3,3 |
25.06 |
241,6798 |
2 |
-4,0 |
02.07 |
241,6794 |
3 |
-4,4 |
09.07 |
241,6790 |
4 |
-4,8 |
16.07 |
241,6787 |
5 |
-5,1 |
23.07 |
241,6785 |
6 |
-5,3 |
30.07 |
241,6778 |
7 |
-6,0 |
06.08 |
241,6775 |
8 |
-6,3 |
13.08 |
241,6769 |
9 |
-6,9 |
Решение.
Составим таблицу для вычисления коэффициентов нормальных уравнений (2.76).
Таблица 2.14
К примеру 2.15
х |
у |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
ху |
х2у |
х3у |
1 |
-3,3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
-3,3 |
-3,3 |
-3,3 |
2 |
-4,0 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
-8,0 |
-16,0 |
-32,0 |
3 |
-4,4 |
9 |
27 |
81 |
243 |
729 |
-13,2 |
-39,6 |
-118,8 |
4 |
-4,8 |
16 |
64 |
256 |
1024 |
4096 |
-19,2 |
-76,8 |
-307,2 |
5 |
-5,1 |
25 |
125 |
625 |
3125 |
15625 |
-25,5 |
-127,5 |
-637,5 |
6 |
-5,3 |
36 |
216 |
1296 |
7776 |
46656 |
-31,8 |
-190,8 |
-1144,8 |
7 |
-6,0 |
49 |
343 |
2401 |
16807 |
117649 |
-42,0 |
-294,0 |
-2058,0 |
8 |
-6,3 |
64 |
512 |
4096 |
32768 |
262144 |
-50,4 |
-403,2 |
-3225,6 |
9 |
-6,9 |
81 |
729 |
6561 |
59049 |
531441 |
-62,1 |
-558,9 |
-5030,1 |
45 |
-46,1 |
285 |
2025 |
15333 |
120825 |
978405 |
-255,5 |
-1710,1 |
-12557,3 |
В таблице в нижней строке выделены суммы по соответствующим столбцам.
Составим систему нормальных уравнений вида (2.76):
978405а + 120825b + 15333с + 2025d + 12557,3 = 0;
120825а + 15333b + 2025с + 285d + 1710,1 = 0;
15333а + 2025b + 285с + 45d + 255,5 = 0;
2025а + 285b + 45с + 9d + 46,1 = 0.
Из решения системы нормальных уравнений находим значения коэффициентов:
а = -0,0068; b = +0,101; с = -0,836; d = -2,61.
Таким образом, получим аппроксимирующий полином 3-й степени:
у = -0,0068х3 + 0,101х2 -0,836х – 2,61.
Составим таблицу для вычисления регрессионных остатков.
Таблица 2.15
К примеру 2.15
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
n = 9 |
у |
-3,3 |
-4,0 |
-4,4 |
-4,8 |
-5,1 |
-5,3 |
-6,0 |
-6,3 |
-6,9 |
Суммы |
у' |
-3,4 |
-3,9 |
-4,4 |
-4,8 |
-5,1 |
-5,5 |
-5,8 |
-6,3 |
-6,9 |
|
Δу |
+0,1 |
-0,1 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
+0,2 |
-0,2 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
(Δу)2 |
0,01 |
0,01 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,04 |
0,04 |
0,0 |
0,0 |
0,10 |
Вычисляем погрешность аппроксимации по формуле (2.77):
мм.
Примечание: вполне возможно, что аппроксимация приведенных результатов измерений может быть выполнена и зависимостью другого вида, например, степенной или показательной функциями.