1.6. Законы распределения случайных величин

1.6.1. Задание закона распределения

Закон распределения случайной величины устанавливает соответствие между случайной величиной и вероятностью ее появления. Закон распределения может быть задан численно в виде таблицы, графическим способом и аналитически в виде функции распределения и плотности равспределения.

Численное или табличное задание закона распределения предусматривает для интервальных вариационных рядов запись средних значений признака в интервале (х_Oi) с сответствующими им значениями частостей (r_i). В частности, для примера распределения содержания, рассмотренного выше (см. табл. 1.3, 1.4 и 1.5) можно задать закон распределения в виде таблицы.

Таблица 1.19

Закон распределения содержания по данным табл. 1.3

Содержание С, г/м3	132	269	406	543	680	817
Частость r	0,21	0,30	0,25	0,11	0,08	0,05

Таблица 1.20

Закон распределения содержания по данным табл. 1.4

Содержание С, г/м3	122	239	356	473	590	707	824
Частость r	0,20	0,28	0,19	0,14	0,10	0,05	0,05

Таблица 1.21

Закон распределения содержания по данным табл. 1.21

Содержание С, г/м3	116	219	322	425	528	631	734	837
Частость r	0,18	0,24	0,15	0,20	0,10	0,06	0,05	0,02

По данным таблиц можно графически представить закон распределения в виде полигона распределения (см. рис. 1.4), произвести сглаживание полигона (см. рис. 1.7) и пользоваться сглаженной кривой графически, не выражая его аналитическим способом.

Таблицы 1.19 – 1.21 называют рядом распределения. При этом ряды распределения предусматривают запись в нижней строке значений вероятностей р случайных величин. Однако для дискретных случайных величин в качестве вероятностей приходится пользоваться значениями частостей. При значительных объемах совокупностей значения частостей приближаются к значениям вероятностей распределения.

Анилитически закон распределения случайной величины задают в виде функции f(x), которую называют функцией плотности вероятности. Вероятность Р(а < Х < b) того, что значение, которое примет случайная величина Х попадет в промежуток , определяется выражением

Р(а < Х < b) . (1.105)

График функции f(x) называется кривой распределения (см. рис. 1.10). В геометрическом представлении вероятность попадания случайной величины в промежуток равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью х и прямыми х = а и х = b (на рисунке указанная площадь заштрихована).

Рис. 1.10. Кривая распределения

Свойства функции плотности вероятности.

Свойство 1. Функция плотности вероятности всегда положительная (или равна нулю):

f(x) > 0. (1.106)

Свойство 2. Интеграл функции плотности вероятности в пределах от «минус» бесконечности до «плюс» бесконечности равен единице, т.е. площадь под кривой распределения равна единице:

. (1.107)

При исследованиях используется еще т.н. функция распределения вероятностей случайной величины, F(x) = P(X < x). Указанная функция существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Данную функцию можно выразить через функцию распределения вероятностей:

, (1.108)

откуда следует, что

. (1.109)

Часто функцию f(x) называют дифференциальной функцией распределения вероятности, а функцию F(x) – интегральной функцией распределения вероятностей.

Свойства интегральной функции распределения вероятностей.

Свойство 1. Функция F(x) – неубывающая.

Свойство 2. Функция F(x) = 0 при х = - ; Функция F(x) = 1 при х = + .

Напомним, что на практике не ожидается значений параметров, равных бесконечностям, точно так же, как и не предусматривается бесконечного числа измерений. В связи с этим использование математических выражений функций вероятностей при исследовании реальных распределений случайных величин, заданных вариационными рядами, несколько абстрактно. На практике производится оценка фактического распределения, его примерного вида с целью подбора того или иного закона распределения, который наиболее приближен к фактическому.

На практике установлено, что почти все случайные величины, которые получают в результате геодезических измерений, подчиняются нормальному закону. На практике маркшейдерских работ весьма часто, помимо выполнения геодезических измерений, производится анализ статистических совокупностей, распределение элементов которых подчиняются законам, отличным от нормального. В связи с этим в настоящем учебном пособии рассматриваются наиболее часто встречающиеся в маркшейдерском деле распределения случайных величин.