1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
Преобразование степенной функции вида
(1.89)
с целью установления значений постоянных коэффициентов а и b (у и х – переменные величины) также предусматривает логарифмирование:
,
(1.90)
в результате чего получаются нормальные уравнения, решение которых приведено выше. Таким образом, для определения постоянных коэффициентов в этих уравнениях необходимо решить систему нормальных уравнений
.
(1.91)
Рассмотрим пример сглаживания степенной функцией для данных, приведенных в примере 1.14.
Пример 1.16. выполнить сглаживание данных, приведенных в примере 1.14, степенной функцией.
Решение.
Степенная функция имеет вид:
.
(1.92)
Система нормальных уравнений (1.91) преобразуется соотвественно к виду:
.
(1.93)
Составим таблицу для вычисления соответствующих сумм для уравнений (1.93).
Таблица 1.16
Показатели разведки
Число классов содержания – 8; h = 14 г/м3
№№ классов |
Мощность m, м |
lgm |
(lgm)2 |
Содержание С, г/м3 |
lgC |
lgC·lgm |
1 |
0,4 |
-0,39794 |
0,15836 |
99 |
1,99564 |
-0,79414 |
2 |
1,4 |
0,14613 |
0,02135 |
87 |
1,93952 |
0,28342 |
3 |
2,0 |
0,30103 |
0,09062 |
75 |
1,87506 |
0,56445 |
4 |
2,8 |
0,44716 |
0,19995 |
63 |
1,79934 |
0,80459 |
5 |
3,2 |
0,50515 |
0,25518 |
51 |
1,70757 |
0,86258 |
6 |
3,2 |
0,50515 |
0,25518 |
39 |
1,59106 |
0,80373 |
7 |
3,6 |
0,55630 |
0,30947 |
27 |
1,43136 |
0,79627 |
8 |
4,2 |
0,62325 |
0,38844 |
15 |
1,17609 |
0,78300 |
|
20,8 |
2,68623 |
1,67855 |
456 |
13,51564 |
4,05390 |
Получим систему нормальных уравнений
8 lga + 2,68623 b = 13,51564;
2,68623 lga +1,67855 b = 4,05390. (1.94)
Решая данную систему уравнений получим:
lga = 1,89890 (a = 79,23); b = -0,62375 = -0,624.
Таким образом, сглаживающая степенная функция имеет вид:
.
(1.95)
Сглаживающая степенная функция представлена на рис. 1.8.
1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
Для сглаживания эмпирических данных используется параболическая функция общего вида:
,
(1.96)
в которой х и у являются переменными, а а, b и с – постоянными величинами.
Для определения постоянных коэффициентов уравнения (1.96) необходимо решить систему нормальных линейных уравнений:
(1.97)
Рассмотрим пример сглаживания с помощью параболической функции.
Пример 1.17. Выполнить сглаживание данных функцией параболического вида, представленных в табл. 1.14.
Решение.
Сглаживающая параболическая функция имеет вид:
.
(1.98)
Для определения постоянных коэффициентов необходимо выполнить решение системы линейных уравнений вида:
(1.99)
Составим таблицу соответствующих сумм для решения уравнений (1.99).
Таблица 1.17
Показатели разведки
Число классов содержания – 8; h = 14 г/м3
№№ классов |
Мощность m, м |
m2 |
m3 |
m4 |
Содержание С, г/м3 |
Cm |
Cm2 |
1 |
0,4 |
0,16 |
0,064 |
0,0256 |
99 |
39,6 |
15,84 |
2 |
1,4 |
1,96 |
2,744 |
3,8416 |
87 |
121,8 |
170,52 |
3 |
2,0 |
4,00 |
8,000 |
16,0000 |
75 |
150,0 |
300,00 |
4 |
2,8 |
7,84 |
21,952 |
61,4656 |
63 |
176,4 |
493,92 |
5 |
3,2 |
10,24 |
32,768 |
104,8576 |
51 |
163,2 |
522,24 |
6 |
3,2 |
10,24 |
32,768 |
104,8576 |
39 |
124,8 |
399,36 |
7 |
3,6 |
12,96 |
46,656 |
167,9616 |
27 |
97,2 |
349,92 |
8 |
4,2 |
17,64 |
74,088 |
311,1696 |
15 |
63,0 |
264,60 |
|
20,8 |
65,04 |
219,04 |
770,1792 |
456 |
936,0 |
2516,40 |
Cоставим линейные уравнения:
8 с + 20,8 b + 65,04 a = 456,
20,8 c + 65,04 b + 219,04 a = 936,0 , (1.100)
65,04 c + 219,04 b + 770,1792 a = 2516,40 .
Из решения уравнений (1.100) получим:
а = -3,86391 = -3,86; b = -5,16902 = -5,17; с = +101,853 = +101,85.
Таким образом, сглаживающая параболическая функция имеет вид:
С = -3,86 m2 – 5,17 m + 1012,85. (1.101)
Сглаживающая параболическая функция представлена на рис. 1.8.