4.4. Приемы решения систем линейных уравнений

4.4.1. Способ последовательной подстановки

Рассмотрим решение системы линейных уравнений способом последовательной подстановки на следующем примере. Имеется система линейных уравнений с четырьмя неизвестными х₁, х₂, х₃, х₄ :

1. 4х₁ – 2х₂ + 3х₃ – 2х₄ – 1 = 0

2. - 2х₁ + 5х₂ – 2х₃ + х₄ – 6 = 0 (4.68)

3. 3х₁ – 2х₂ + 3х₃ – 4х₄ – 8 = 0

4. - 2х₁ + х₂ – 4х₃ + 2х₄ + 4 = 0

Шаг 1. Выразим в уравнении 1 (4.68) х₁ через остальные неизвестные,

х₁ = 0,5 х₂ – 0,75 х₃ + 0,5 х₄ + 0,25, (4.69)

и подставим его значение в уравнения 2, 3 и 4. Получим новую систему уравнений с тремя неизвестными:

2. 4 х₂ – 0,5 х₃ – 6,5 = 0

3. – 0,5 х₂ + 0,75 х₃ – 2,5 х₄ + 8,75 = 0 (4.70)

4. – 2,5 х₃ + х₄ + 3,5 = 0

Шаг 2. выразим в уравнении 2 (4.70) х₂ через остальные неизвестные (в данном случае – через х₃),

х₂ = 0,125 х₃ + 1,625, (4.71)

и подставим его в уравнения 3 и 4 (4.70). Получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

3. 0,6875 х₃ – 2,5 х₄ + 7,9375 = 0

4. – 2,5 х₃ + х₄ + 3,5 = 0 (4.72)

Шаг 3. Выразим в уравнении 4 (4.72) х₃ через х₄ ,

х₃ = 0,4 х₄ + 1,4 , (4.73)

и подставим его значение в уравнение 3 (4.72). Получим

- 2,225 х₄ + 8,9 = 0, (4.74)

откуда х₄ = - 8,9 / - 2,225 = + 4.

Из уравнения (4.73) х₃ = 0,4 х 4 + 1,4 = + 3.

Из уравнения (4.71) х₂ = 0,125 х 3 + 1,625 = + 2.

Из уравнения (4.69) х₁ = 0,5 х 2 – 0,75 х 3 + 0,5 х 4 + 0,25 = + 1.

Для контроля полученные значения х_i необходимо подставить в исходные уравнения (4.68) и проверить выполнение указанных условий. В данном примере указанные условия подтверждены абсолютно.

4.4.2. Способ матричных преобразований

Рассмотрим пример для исходных данных, приведенных в п. 4.4.1.

Для решения системы линейных уравнений матричным способом необходимо переписать их в виде

1. 4х₁ – 2х₂ + 3х₃ – 2х₄ = +1

2. - 2х₁ + 5х₂ – 2х₃ + х₄ = + 6 (4.75)

3. 3х₁ – 2х₂ + 3х₃ – 4х₄ = +8

4. - 2х₁ + х₂ – 4х₃ + 2х₄ = - 4

и составить матрицу коэффициентов при k_i , правых частей и контрольного столбца, равного суммам коэффициентов и правой части каждого уравнения:

(4.76)

Составление контрольного столбца является обязательным! После математических действий с полной строкой, включая и контрольный столбец, всегда следует выполнять проверку сумм коэффициентов уравнений правой и левой частей с полученным новым значением контрольного столбца. Они должны совпадать в пределах округлений результатов. Если этого не делать, то ошибка в вычислениях выявится только после решения систем уравнений. А процесс этот довольно трудоемкий, и без постоянного контроля вся работа может оказаться напрасной.

Результат решения не изменится, если:

- любую строку матрицы поменять местами с другой строкой;

- любую строку матрицы умножить или разделить на одно и то же постоянное число.

Решение матрицы сводится к образованию т.н. треугольной матрицы вида

(4.77)

Указанным образом получается система линейных уравнений

a₁k₁ + a₂k₂ + a₃k₃ + a₄k₄ = m₁

b₂k₂ + b₃k₃ + b₄k₄ = m₂ (4.78)

c₃k₃ + c₄k₄ = m₃

d₄k₄ = m₄

для, например, четырех линейных уравнений. Из последней строки находят значение k₄ :

. (4.79)

и последовательной подстановкой в уравнения (4.78) решают задачу.

Контроль решения осуществляется подстановкой полученных значений k в исходные уравнения (4.75).

Проследим решение на приведенном примере.

Шаг 1. Образовать 1-й нулевой столбец в строках 2, 3 и 4 матрицы (4.76). Для этого умножим 2-ю и 4-ю строки на (+2), а 3-ю строку – на (-4/3). Получим:

(4.80)

Затем последовательно сложим 2-ю, 3-ю и 4-ю строки (4.80) с первой строкой этой мартицы:

(4.81)

Шаг 2. Образовать 2-й нулевой столбец в строках 3 и 4 (4.81). При этом в примере для строки 4 нет необходимости в преобразованиях, поскольку в ней на второй позиции уже имеется ноль. В связи с этим достаточно преобразовать только 3-ю строку. Для этого умножим ее на (-12)

(4.82)

и сложим полученную строку со 2-й строкой той же матрицы:

(4.83)

Шаг 3. Образовать нулевой 3-й столбец (4.83) в строке 4, для чего требуется умножить его на (+2,2)

(4.84)

и сложить со строкой 3 этой же матрицы (4.84):

(4.85)

В результате система линейных уравнений (4.75) преобразуется к виду:

1. +4k₁ – 2 k₂ + 3 k₃ - 2 k₄ = + 1

2. +8 k₂ - k₃ = + 13

3. +11 k₃ - 40 k₄ = - 127 (4.86)

4. – 35,6 k₄ = - 142,4

Из уравнения 4 (4.86) находим k₄ = +4. Из уравнения 3 подстановкой в него значения k₄ находим k₃ = +3. Из уравнения 2 подстановкой k₃ (коэффициент при k₄ равен нулю) находим k₂ = +2. Из уравнения 1, после подстановки значений k₂ , k₃ и k₄ , находим k₁ = +1. То есть те же значения, что и при решении способом последовательной подстановки, рассмотренном в п. 4.4.1.

В качестве замечаний к решению систем линейных уравнений необходимо указать следующее. При уравнивании значения коэффициентов и свободных членов системы линейных уравнений часто являются не целыми числами, а дробными. В связи с этим рекомендуется значения весов и обратных весов округлять до 0,01 – 0,001 ед., значения коэффициентов при неизвестных округлять до 0,0001ед., получаемые значения неизвестных округлять до 0,001 – 0,0001 ед. При этом, как указывалось выше, поправки в углы часто округляют до 0,1 – 0,01" , в расстояния (приращения координат) – до 1 мм, в превышения – до 0,1 – 1,0 мм.

Далее рассмотрим решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса и способом краковянов, как наиболее часто используемых при решении подобных задач.