- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
Предположим, что какая-либо однородная величина измерена дважды независимо и равноточно. Далее эта же величина, либо другие однородные с ней величины измерены в каждой паре также равноточно, но между собой все пары являются неравноточными.
Составим разности для всей группы измерений:
(3.53)
Поскольку разность d имеет среднюю квадратическую погрешность
, (3.54)
то вес разности будет равен
. (3.55)
Значения d являются истинными погрешностями, поэтому по формуле средней квадратической погрешности единицы веса можно записать, что
. (3.56)
Очевидно, что вероятнейшие значения xo величин xi при равноточных измерениях в паре определяются как простые средние арифметические, а вес каждого из них найдется как . Следовательно, средняя квадратическая погрешность вероятнейшего значения будет равна
. (3.57)
В практике следует ожидать и такого положения, когда измерения в паре между собой окажутся неравноточными. В этом случае вес разности di находят по формуле
. (3.58)
Погрешность единицы веса в этом случае будет равна
. (3.59)
и средние квадратические погрешности в парах –
. (3.60)
Рассмотрим пример обработки ряда двойных неравноточных измерений, если в каждой паре выполнены равноточные измерения.
Пример 3.8. Выполнены парные (двойные) измерения длин линий с относительной средней квадратической погрешностью δ = 1 : 100000 (табл. 3.5).
Требуется выполнить обработку ряда измерений с целью определения средней квадратической погрешности единицы веса, средней квадратической опогрешности средних из двух измерений и относительные погрешности. За единицу веса принята средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной 2000 м, равная 20 мм.
Таблица 3.5
К примеру 3.8
n |
Результаты измерений, м |
mi мм |
pi |
di м |
|
pidi |
pidi2 10-4 |
|
1-е изм. |
2-е изм. |
|||||||
1 |
2273,842 |
2273,856 |
13 |
2,37 |
-0,014 |
-0,022 |
-0,033 |
4,65 |
2 |
2450,116 |
2450,112 |
24 |
0,69 |
+0,004 |
+0,003 |
+0,003 |
0,11 |
3 |
1852,319 |
1852,305 |
18 |
1,23 |
+0,014 |
+0,016 |
+0,017 |
2,41 |
4 |
2746,214 |
2746,221 |
18 |
1,23 |
-0,007 |
-0,008 |
-0,009 |
0,60 |
5 |
1963,858 |
1963,842 |
10 |
4,00 |
+0,016 |
+0,032 |
+0,064 |
10,24 |
6 |
2086,321 |
2086,330 |
11 |
3,31 |
-0,009 |
-0,016 |
-0,030 |
2,68 |
7 |
1741,319 |
1741,332 |
27 |
0,55 |
-0,013 |
-0,010 |
-0,007 |
0,93 |
8 |
2019,081 |
2019,076 |
30 |
0,44 |
+0,005 |
+0,003 |
+0,002 |
0,11 |
9 |
1847,758 |
1847,779 |
15 |
1,78 |
-0,021 |
-0,028 |
-0,037 |
7,85 |
10 |
922,605 |
922,581 |
13 |
2,37 |
+0,024 |
+0,037 |
+0,057 |
13,65 |
|
|
|
|
22,44 |
|
|
+0,027 |
0,004323 |
Занесем в таблицу значения средних квадратических погрешностей и вычислим веса результатов измерений по формуле (3.47).
Вычислим значения разностей двойных измерений и приведем эти разности к равноточнм измерениям, умножив их на корень квадратный из соответствующего веса. Ряд полученных значений ряда равноточных двойных измерений исследуем на значимость влияния систематических погрешностей по выполнению условия
. (3.61)
Получено 0,007 ‹ 0,700, т.е. влиянием систематических погрешностей можно пренебречь, считая, что ряд разностей является рядом случайных погрешностей.
Вычислим произведения pidi , контролем для которых является равенство
. (3.62)
в допустимых отклонениях, в том числе и из-за остаточных систематических погрешнсотей.
Вычислим значения pidi2 и получим их сумму [pidi2] = 0,004323.
По формуле (3.56) найдем среднюю квадратическую погрешность единицы веса
.
Относительная погрешность единицы веса δо = 0,0147/2000 = 1 : 136000.
Средние квадратические погрешности в парах измерений, вычисленные по формуле (3.57) и их относительные погрешности сведены в табл. 3.6.
Таблица 3.6
К примеру 3.8
Средние квадратические погрешности вероятнейших значений в парах измерений и их относительные погрешности
№ измер. |
mi |
δi |
№ измер. |
mi |
δi |
1 |
0,0068 |
1:336800 |
6 |
0,0057 |
1:365200 |
2 |
0,0125 |
1:195800 |
7 |
0,0140 |
1:124200 |
3 |
0,0094 |
1:197600 |
8 |
0,0157 |
1:128800 |
4 |
0,0094 |
1:293000 |
9 |
0,0078 |
1:237200 |
5 |
0,0052 |
1:377900 |
10 |
0,0068 |
1:136600 |