- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
Как известно, в триангуляции измеряют только горизонтальные углы в цепочке геодезических фигур. При этом ряд геодезических фигур, например, треугольников, на концах имеют базисные стороны, либо, как в рассматриваемом ниже примере, на другом конце имеют исходный пункт 5 (рис. 4.13).
В табл. 4.37 и 4.38 приведены значения координат исходных пунктов и значения измеренных горизонтальных углов.
Выполним предварительные вычисления в триангуляции.
Из решения обратной геодезической задачи найдем значение дирекционного угла исходной стороны 1-2 и расстояние s:
;
По теореме синусов найдем длины сторон ходовой линии 2-1-3-4-5:
; ;
Рис. 4.13. Ряд триангуляции. Уравнивание по условию координат.
Таблица 4.37
Координаты исходных пунктов
-
№№ пунктов
1
2
5
Х, м
3387,324
7088,605
4359,096
Y, м
4315,770
3245,309
13698,519
Таблица 4.38
Значения измеренных горизонтальных углов
-
γi
Значение угла
βi
Значение угла
ηi
Значение
угла
γ1
63° 17' 12,4"
β1
54° 53' 45,6"
η1
61° 49' 05,6"
γ2
69° 05' 49,6"
β2
47° 38' 49,3"
η2
63° 15' 18,8"
γ3
55° 16' 40,1"
β3
50° 12' 47,4"
η3
74° 30' 27,7"
Таблица 4.39
Предварительные вычисления в триангуляции
№№ точек |
Гориз.углы
|
Дирекц.углы α |
Рассто-яния s , м |
Приращения координат, м |
Координаты, м |
№№ точек |
||
Δх |
Δу |
Х |
Y |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
163°52'09,9" |
|
|
|
|||||
1 |
61°49'05,6"
|
3387,324 |
4315,770 |
1 |
||||
45°41'15,5" |
4206,934 |
+2938,837 |
+3010,238 |
|||||
3 |
63°15'18,8"
|
6326,161 |
7326,008 |
3О |
||||
162°25'56,7" |
5318,018 |
-5069,994 |
+1605,140 |
|||||
4 |
74°30'27,7"
|
1256,167 |
8931,148 |
4О |
||||
56°56'24,4" |
5688,222 |
+3103,012 |
+4767,304 |
|||||
5 |
|
4359,179 |
13698,452 |
5О |
||||
|
|
|
|
Значения дирекционных углов определим в таблице вычисления координат по значениям правых или левых по ходу горизонтальных углов ηi и дирекционного угла исходного направления 2-1 (табл. 4.39).
Далее, так же, как и в предыдущем примере, не будем по тексту отмечать шаги решения задачи уравнивания углов, но практически сохраним стандартную последовательность действий.
Составим уравнения для условия фигур и условия координат.
1.
2.
3. (4.176)
4.
5.
Приведем уравнения (4.176) к линейному виду и запишем условные уравнения поправок:
1.
2. (4.177)
3.
4.
5.
В уравнениях (4.177): - поправки в соответствующие измеренные углы; W(i) – угловые невязки в треугольниках (1), (2) и (3) по их счету от базовой линии; xno и yno – вычисленные координаты конечной точки ходовой линии (в примере – вычисленные координаты точки 5); xio и yio – текущие координаты точек ходовой линии.
Поправку записывают в уравнениях 4 и 5 со знаком плюс, если угол ηi является левым по ходу, и со знаком минус, если этот угол – правый по ходу.
В уравнениях (4.177) значения разностей координат следует брать в километрах, невязки Wx и Wy – в дециметрах, а угловые невязки и поправки в углы – в секундах.
Таблица 4.40
Ведомость котангенсов измеренных углов и разностей координат
-
Направление
(x5o - xio), км
(y5 o - yio), км
5 – 1
+0,972
+9,383
5 – 3
-1,967
+6,372
5 - 4
+3,103
+4,767
βi
Котангенс
γ i
Котангенс
β1
0,70292
γ 1
0,50324
β2
0,91162
γ 2
0,38192
β3
0,83278
γ 3
0,69301
Найдем свободные члены уравнений поправок (т.е.невязки):
Составим таблицу значений разностей координат (в км) и котангенсов углов (табл. 4.40).
Приведем уравнения поправок (4.177) в развернутом виде:
1.
2.
3. (4.178)
С учетом значений, приведенных в табл. 4.40, запишем окончательные уравнения поправок:
1.
2.
3. (4.179)
Составим матрицу коэффициентов уравнений поправок с учетом того, что измерения углов выполнены равноточно с весами, равными единице.
Таблица 4.41
Матрица коэффициентов уравнений поправок
|
1(νγ1) |
2(νγ2) |
3(νγ3) |
4(νβ1) |
5(νβ2) |
6(νβ3) |
7(νη1) |
8(νη2) |
9(νη3) |
1(k1) |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2(k2) |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
3(k3) |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
4(k4) |
0,0237 |
-0,0364 |
0,1043 |
-0,0331 |
0,0869 |
-0,1253 |
-0,4549 |
0,3089 |
-0,2311 |
5(k5) |
0,2289 |
0,1180 |
0,1602 |
-0,3192 |
-0,2816 |
-0,1925 |
0,0471 |
0,0954 |
0,1504 |
Составим и решим систему нормальных уравнений коррелат, пользуясь данными табл. 4.41.
1. 3k1 – 0,4643 k4 – 0,0432 k5 + 3,6 = 0;
2. 3 k2 + 0,3594 k4 – 0,0682 k5 – 2,3 = 0;
3. 3 k3 – 0,2521 k4 + 0,1181 k5 – 4,8 = 0;
4. – 0,4643 k1 + 0,3594 k2 – 0,2521 k3 + 0,3929 k4 + 0,0013 k5 + 0,83 = 0;
5. – 0,0432 k1 – 0,0682 k2 + 0,1181 k3 + 0,0013 k4 + 0,3442 k5 – 0,67 = 0.
Из решения полученной системы уравнений: k1 = -1,9481; k2 = +1,4004; k3 = +1,1176; k4 = -4,9860; k5 = +1,6149.
Вычисляем поправки в измеренные углы, пользуясь данными табл. 4.41:
(4.180)
Подстановка полученных значений поправок (4.180) в уравнения (4.178) показывает выполнение указанных условий.
После вычисления уравненных значений углов выполняют проверку уравнивания подстановкой их значений в уравнения 1, 2 и 3 (4.176).
Предоставляем читателю возможность завершения процесса уравнивания.