4.6.6. Уравнивание триангуляции
На рис. 4.12 приведена схема триангуляции с измеренными углами γi , βi, ηi и ti (табл. 4.33).
При использовании условия фигур и суммы углов в триангуляционном построении образуется пять условных уравнений, поскольку имеется только пять избыточных измерений.
Рис. 4.12. Схема триангуляции
Таблица 4.33
Значения измеренных горизонтальных углов
γi |
Значение угла |
βi |
Значение угла |
ηi |
Значение угла |
ti |
Значение угла |
γ1 |
63° 17' 12,4" |
β1 |
54° 53' 45,6" |
η1 |
61° 49' 05,6" |
t1 |
118° 09' 06,8" |
γ2 |
69° 05' 49,6" |
β2 |
47° 38' 49,3" |
η2 |
63° 15' 18,8" |
t2 |
122° 09' 15,1" |
γ3 |
55° 16' 40,1" |
β3 |
50° 12' 47,4" |
η3 |
74° 30' 27,7" |
|
|
Если бы в триангуляционном построении не измерялись углы ti, то при равноточном измерении углов в каждом из треугольников (1), (2) и (3), имеющих невязки W(1) = +3,6", W(2) = - 2,3" , W(3) = - 4,8" , достаточно поровну распределить их по всем соответствующим углам (с обратным знаком). Таким образом, поправки в углы в треугольнике (1) были бы равны -1,2", в треугольнике (2) - +0,8" (+0,77"), в треугольнике (3) - +1,6".
Если в триангуляционном построении не планируется уравнивать углы с учетом условия координат, либо других условий, учитывающих линейные измерения, а также в случаях, когда на другом конце триангуляционного
построения нет второй базисной линии или исходного пункта, то часто число избыточных измерений увеличивают, например, измеряют углы ti.
Введем
условие неравноточности измерений
углов, определяемое числом полных
приемов n
измерения каждого угла. При этом вес
угла определим по формуле
,
приняв за единицу веса nе
= 3
(табл. 4.34).
Таблица 4.34
Значения весов и обратных весов измеренных углов
Углы |
γ 1 |
γ 2 |
γ 3 |
β 1 |
β 2 |
β 3 |
η 1 |
η 2 |
η 3 |
t1 |
t2 |
ni |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
3 |
3 |
2 |
3 |
3 |
pi |
0,67 |
1 |
1 |
1,33 |
1,33 |
1,33 |
1 |
1 |
0,67 |
1 |
1 |
qi |
1,50 |
1 |
1 |
0,75 |
0,75 |
0,75 |
1 |
1 |
1,50 |
1 |
1 |
Составим условные уравнения фигур и сумм углов:
(4.173)
В этом случае уравнения поправок примут вид:
(4.174)
Вычислим значения невязок (свободных членов уравнений поправок):
W1 = ∑(углы фигуры 1-2-3-4-1) – 360о = 360° 00' 01,3" – 360° = +1,3";
W2 = ∑(углы фигуры 1-3-5-4-1) – 360° = 359° 59' 52,9" – 360° = - 7,1";
W3 = ∑(углы треугольника 1-3-4) – 180 = 179° 59' 57,7" = - 2,3";
W4 = β1 + η2 - t1 = 118° 09' 04,4" – 118° 09' 06,8" = - 2,4" ;
W5 = β2 + η3 - t2 = 122° 09' 17,0" – 122° 09' 15,1" = + 1,9" .
Составим таблицу коэффициентов aij. С учетом неравноточности измерений, матрица коэффициентов aij будет содержать значения обратных весов измеренных углов (табл. 4.35).
Таблица 4.35
Таблица коэффициентов уравнений поправок
i→ j↓ |
1 γ1 |
2 γ2 |
3 γ3 |
4 β1 |
5 β2 |
6 β3 |
7 η1 |
8 η2 |
9 η3 |
10 t1 |
11 t2 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
-1 |
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
-1 |
qi |
1,50 |
1,00 |
1,00 |
0,75 |
0,75 |
0,75 |
1,00 |
1,00 |
1,50 |
1,00 |
1,00 |
С учетом обратных весов составим нормальные уравнения коррелат:
1. 6k1 + 2,75 k2 + 2,75 k3 + 1,75 k4 + 0,75k5 + 1,3 = 0;
2. 2,75 k1 + 6 k2 + 2,75 k3 + k4 + 2,25 k5 - 7,1 = 0;
3. 2,75 k1 + 2,75 k2 + 2,75 k3 + k4 + 0,75 k5 - 2,3 = 0; (4.175)
1,75 k1 + k2 + k3 + 2,75 k4 - 2,4 = 0;
0,75k1 + 2,25 k2 + 0,75 k3 + 3,25 k5 + 1,9 = 0.
Из решения системы линейных уравнений (4.175) получим:
k 1 = -1,303; k2 = +2,362; k3 = -0,008; k4 = +0,846; k5 = -1,917.
Контрольная подстановка коррелат в исходные уравнения (4.175) показывает выполнение указанных условий.
Значения поправок в измеренные углы определяем с использованием табл. 4.35:
Контроль вычисления поправок осуществляется выполнением условий в уравнениях (4.174). Указанные условия выполнены в пределах погрешностей округлений.
Уравненные значения углов приведем в табличной форме (табл. 4.36).
Контроль уравнивания углов производится подстановкой их уравненных значений в условные уравнения (4.173).
Таблица 4.36
Ведомость уравнивания углов
γi |
Значение угла: измеренное (поправка) уравненное |
βi |
Значение угла: измеренное (поправка) уравненное |
ηi |
Значение угла: измеренное (поправка) уравненное |
ti |
Значение угла: измеренное (поправка) уравненное |
γ1 |
63°17'12,4" (-2,0") 63°17'10,4" |
β1 |
54°53'45,6" (-0,3") 54°53'45,3" |
η1 |
61°49'05,6" (-1,3") 61°49'04,3" |
t1 |
118°09'06,8" (-0,8") 118°09'06,0" |
γ2 |
69°05'49,6" (+1,1") 69°05'50,7" |
β2 |
47°38'49,3" (-0,6") 47° 38'48,7" |
η2 |
63°15'18,8" (+1,9") 63°15'20,7" |
t2 |
122°09'15,1" (+1,9") 122°09'17,0" |
γ3 |
55°16'40,1" (+2,4") 55°16'42,5" |
β3 |
50°12'47,4" (+1,8") 50°12'49,2" |
η3 |
74°30'27,7" (+0,7") 74°30'28,4" |
|
|