3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
В п. 3.2.1 говорилось о сложностях выявления и учета систематических погрешностей в результатах измерений. Во многих случаях приходится специально исследовать влияние систематических погрешностей, либо совершенствовать методику или программу измерений с целью исключения или ослабления систематических погрешностей.
Здесь мы рассмотрим простейший случай выявления и учета систематической погрешности при выполнении эталонирования измерительного прибора, т.е. при определении точности работы прибора. Заметим, что в этом случае измеряемая величина известна, и значение средней квадратической погрешности следует определять по формуле (3.9). Кроме того, считаем, что систематическая погрешность постоянна по величине и знаку во всем диапазоне значений результатов измерений.
Если результаты измерений содержат систематическую погрешность Dсист , то, очевидно, и значение среднего арифметического хо¢ исследуемого ряда хi также будет содержать ту же погрешность:
хо¢ = Х + Dсист , (3.34)
откуда находим
Dсист = хо¢ - Х . (3.35)
Таким образом, истинные погрешности результатов измерений будут содержать не только случайные Dсл , но и систематические погрешности Dсист :
DI = хi – Х = Dсл + Dсист . (3.36)
Предположим, что нами установлена величина систематической погрешности, тогда в ряду общей погрешности ее можно исключить и образовать ряд случайных погрешностей
Dсл = D––- Dсист , (3.37)
обработка которого выполняется по приведенному выше алгоритму.
Рассмотрим пример обработки ряда равноточных измерений, содержащих систематическую погрешность.
Пример 3.6. В табл. 3.3 приведены результаты измерения горизонтального угла βо = 63º47'30" теодолитом Т2. Выполнить обработку ряда равноточных измерений, содержащих систематическую погрешность.
Решение.
Вычисляем среднее значение горизонтального угла по результатам произведенных измерений: βо´ = [βi´] /n = 63º 47' 34,3".
Систематическая погрешность определяется разностью Δсист = (βо´ - βо) = + 4,3".
Исключаем из результатов измерений систематическую погрешность: βi = (βi´ - Δсист).
Таблица 3.3
К примеру 3.6
-
№№
п/п
Результаты измерения, βi´
Система-тическая погрешность, Δсист
Исправленные значения результатов измерений, βi
Уклонения от истинного значения, Δсл
Квадраты уклонений,
Δсл2
1
63º47'34"
+ 4,3"
63º47' 29,7"
- 0,3"
0,09
238"
+ 4,3"
33,7"
+ 3,7"
13,69
333"
+ 4,3"
28,7"
- 1,3"
1,69
435"
+ 4,3"
30,7"
+ 0,7"
0,49
535"
+ 4,3"
30,7"
+ 0,7"
0,49
632"
+ 4,3"
27,7"
- 2,3"
5,29
7
63º47'33"
+ 4,3"
63º47' 28,7"
- 1,3"
1,69
Образуем ряд случайных погрешностей Δсл = (βi –- βо) и возведем их значения в квадрат.
Получим сумму квадратов уклонений от истинного значения: [Δсл2] = 23,43.
Поскольку измеряемая величина была известна, то для определения средней квадратической погрешности результата измерения используем формулу Гаусса (3.9):
Среднюю квадратическую погрешность средней квадратической погрешности mm для рассматриваемого примера определим по формуле (3.11):
С учетом этого можно записать, что mβ = 2,0".
Следует заметить, что необходимо обратить внимание на появление значительной систематической погрешности в результатах измерений, превышающей более чем в два раза точность измерений и паспортную точность измерений теодолитом.