4.4.4. Способ краковянов
Способ заключается в том, что в расчетах без промежуточных записей получают коэффициенты эквивалентной системы, деленные на корень квадратный из квадратичных (диагональных) коэффициентов этих уравнений. Соответствующие строки Кi в таблице расчетов называют краковянами. При ведении расчетов на микрокалькуляторе в последовательности действий используется часто последнее число на его регистре. Часть промежуточных числовых значений заносится в память МК и, при необходимости, вызывается из нее. Все действия по расчету краковянов однотипные и сопровождаются надежным контролем.
Рассмотрим в общем случае решение четырех линейных уравнений (4.87)
Алгоритм расчетов покажем в виде формул и сопровождения действий записями в таблице (табл. (4.5).
Таблица 4.5
Схема расчетов по способу краковянов
Строки |
z1 |
z2 |
z3 |
z4 |
L |
∑ |
Контроль∑ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
N1 |
N11 |
-N12 |
-N13 |
-N14 |
-L1 |
-∑1 |
|
N2 |
|
N22 |
-N23 |
-N24 |
-L2 |
-∑2 |
|
N3 |
|
|
N33 |
-N34 |
-L3 |
-∑3 |
|
N4 |
|
|
|
N44 |
L4 |
-∑4 |
|
K1 |
(K11) |
(K12) |
(K13) |
(K14) |
(K15) |
-∑K1
(K16) |
|
K2 |
|
(K22) |
(K23) |
(K24) |
(K25) |
-∑K2
(K26)
|
|
K3 |
|
|
(K33) |
(K34) |
(K35) |
-∑K3
(K36) |
|
K4 |
|
|
|
(K44) |
(K45) |
-∑K4
(K46) |
|
В строки N таблицы записывают значения коэффициентов, свободных членов и сумм с обратным знаком, кроме диагонального коэффициента (однако при составлении сумм принимают во внимание, что и диагональный коэффициент имеет знак «минус»). Кроме того, при суммировании по строкам N используют все коэффициенты уравнения (они находятся выше по столбцу, в котором записан диагональный коэффициент).
Порядок вычислений.
Строка К1. Получение краковянов данной строки затруднений не вызывает.
Внимание! Во всех строках К, с целью своевременного выявления ошибок в расчетах, обязательным является вычисление контрольной суммы
краковянов по строке, придавая значениям Кii знак «минус».
Строка К2.
(Контроль!)
Строка К3.
(Контроль!)
Строка К4.
(Контроль!)
Если бы исходных уравнений было больше, то вычисления продолжались бы по указанному алгоритму. Для четырех же уравнений составление таблицы расчетов закончено. Теперь можно определить значения неизвестных.
(4.100)
Как видим, дальше производится подстановка z в «элиминационные» уравнения краковянов.
Контроль вычисления неизвестных осуществляется подстановкой их значений в исходные уравнения.
Для иллюстрации способа краковянов решим систему линейных уравнений вида
9,16 z1 – 2,46 z2 + 0,56 z3 + 1,77 z4 + 0,34 = 0
-2,46 z1 + 4,74 z2 + 0,23 z3 + 1,40 z4 + 0,12 = 0 (4.101)
0,56 z1+ 0,23 z2 + 5,21 z3 – 3,46 z4 – 1,78 = 0
1,77 z1 + 1,40 z2 – 3,46 z3 + 8,07 z4 + 1,81 = 0
Составим таблицу 4.6.
Таблица 4.6
Пример решения системы уравнений способом краковянов
Строки |
z 1 |
z 2 |
z 3 |
z 4 |
L |
∑ |
Контроль |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
N1 |
9,16 |
+2,46 |
-0,56 |
-1,77 |
-0,34 |
-9,37 |
|
N2 |
|
4,74 |
-0,23 |
-1,40 |
-0,12 |
-4,03 |
|
N3 |
|
|
5,21 |
+3,46 |
+1,78 |
-0,76 |
|
N4 |
|
|
|
8,07 |
-1,81 |
-9,59 |
|
K1 |
3,027 |
+0,813 |
-0,185 |
-0,585 |
-0,112 |
-3,095 |
-3,096 |
K2 |
|
2,020 |
-0,188 |
-0,929 |
-0,104 |
-3,241 |
-3,241 |
K3 |
|
|
2,267 |
+1,651 |
+0,803 |
+0,186 |
+0,187 |
K4 |
|
|
|
2,034 |
-0,158 |
-2,193 |
-2,192 |
zi |
-0,052 |
-0,043 |
+0,297 |
-0,078 |
|
|
|
и т.д.
Контроль:
- 2,020 – 0,188 – 0,929 – 0,104 = - 3,241.
Контроль:
- 2,267 + 1,651 + 0,803 = + 0,187.
Контроль: -2,034 – 0,158 = - 2,192.
Вычисляем значения неизвестных:
;
;
;
.
Контрольная подстановка полученных значений z в исходные уравнения показала правильность их вычислений (с учетом необходимых округлений промежуточных результатов).