1.7.5.4. Способ Линдеберга
Приводимый здесь способ Лидеберга называют еще упрощенным способом Линдеберга.
В данном способе выполняется сопоставление значений асимметрии и эксцесса со значениями их средних квадратических отклонений.
Если одновременно выполняются указанные ниже условия:
<
3 ;
< 3 , (1.159)
то исследуемое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением.
В формуле (1.159)
;
,
(1.160)
где n – объем совокупности.
Для решения задачи способом Линдеберга достаточно иметь упорядоченный вариационный ряд, среднее арифметичекое ряда (хО) и стандартное отклонение σ.
Значение показателя асимметрии ряда оценивают по формуле
,
(1.161)
где r – число значений признака, превышающих хО в данном объеме совокупности n.
Значение показателя эксцесса оценивают по формуле
,
(1.162)
где ρ – число членов вариационного ряда, значения которых находятся в интервале (хО ± 0,5 σ).
Пример 1.35. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, представленного упорядоченным вариационным рядом в табл. 1.2, с нормальным распределением, пользуясь способом Линдеберга.
Решение.
Для упорядоченного вариационного ряда, представленного в табл. 1.2: объем совокупности n = 80; среднее арифметическое СО = 359 г/м3 (пример 1.2); стандарт σ = 194 г/м3 (пример 1.6).
Определим по упорядоченному ряду r = 37, ρ = 23 для диапазона (359 ± 82) г/м3.
Показатель
асимметрии
,
показатель эксцесса
.
Вычисляем
;
.
Условие
<
3; условие
< 3.
Ответ: эмпирическое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением.
1.7.5.5. Критерий знаков
Критерий знаков часто используется в непараметрической статистике при исследовании вариационных рядов с небольшим объемом совокупности. Эффективность критерия знаков возрастает с увеличением объема выборки.
Считают, что эмпирическое распредсуется с нормальным распределением с вероятностью 0,95, если выполняется при этом условие:
,
(1.163)
где n(+) и n(–) – соответственно число элементов вариационного ряда, преобразованного в ряд ошибок (из каждого элемента вычтено значение среднего арифметического); очевидно, что сумма n(+) и n(–) равна объему совокупности.
Можно не составлять ряд ошибок: число n(+) равно числу элементов вариационного ряда, занения которых превышают значение среднего арифметического, а n(–) равно числу элементов вариационного ряда, значения которых меньше среднего арифметического.
Пример 1.36. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, представленного упорядоченным вариационным рядом, приведенным в табл. 1.2, с нормальным распределением, используя критерий знаков.
Решение.
Среднее арифметическое для указанного упорядоченного вариационного ряда равно 359 г/м3 (см. пример 1.2).
В соответствии с табл. 1.2 n(+) = 37, n(–) = 43.
По формуле (1.163) определяем, что ( | 37 – 43 | = 6 ) < ( 1,96 = 17,5).
Ответ: эмпирическое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением.