4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом

Чтобы выполнить оценку точности любой величины, последнюю необходимо представить в виде функции результатов измерений:

, (4.246)

а после этого можно применить формулу теории погрешностей измерений для определения обратного веса функции:

, (4.247)

где - частные производные функции по аргументам x_i; p_i – вес аргумента (измеренной величины).

Для решения указанной задачи, т.е. определения веса функции, систему нормальных уравнений коррелат увеличивают на одно уравнение (либо несколько уравнений, в зависимости от числа оцениваемых параметров, функций) и записывают в виде:

……………………………………………

(4.248)

,

где ρ_j – некоторый неизвестный параметр;

………………………………..

(здесь L – cвободные члены новых уравнений);

- свободный член последнего уравнения.

Из решения системы уравнений (4.248), например, по алгоритму Гаусса, получают

. (4.249)

Для каждой из функций соответственно получают свое значение , т.е. необходимо выполнить столько решений уравнений (4.248), сколько в них содержится определяемых функций F.

Задача упрощается тем, что указанные системы решают сразу совместно по определенному алгоритму, который рассмотрим на примере оценки точности установленных или заданных функций в системе нивелирных ходов, приведенной в разделе 4.6.2. В данной системе нивелирных ходов уже выполнено уравнивание, поэтому мы воспользуемся результатами этого решения.

Выберем функции, оценку точности которых мы будем выполнять в данном примере:

(4.250)

Последние четыре функции содержат только одно значение h, т.е. их средние квадратические погрешности равны средней квадратической погрешности соответствующего превышения, поскольку H_P10, H_P20 и H_P30 – исходные высоты (по условию задачи являются безошибочными).

Составим для обработки результатов измерений табл. 4.74, в которую занесем значения коэффициентов и обратных весов из примера 7.2, а также значения частных производных функций:

; ; ; ; ; . (4.251)

Таблица 4.74

№№ изм.	qi	a1	a2	a3	a4	a5	F1	F2	F3	F4	F5	∑
1	0,42	+1				+1		+1				3
2	0.68	-1							+1			0
3	1,08	+1	-1									0
4	0,39		+1			+1	+1					3
5	1,32		+1	+1								2
6	1,03			+1								1
7	1,51			+1	+1		-1					1
8	1,72				+1	+1					-1	1
9	1,19				-1					-1		-2
(10)	W	-7	+18	-16	+6	+17
(11)	[qa1	2,18	-1,08	0	0	0,42	0	0,42	-0,68	0	0	1,26
(12)	[qa2	(1,08)	2,79	1,32	0	0,39	0,39	0	0	0	0	3,81
(13)	[qa3	(0)	(1,32)	3,86	1,51	0	-1,51	0	0	0	0	5,18
(14)	[qa4	(0)	(0)	(1,51)	4,42	1,72	-1,51	0	0	1,19	-1,72	7,33
(15)	[qa5	(0,42)	(0,39)	(0)	(1,72)	2,53	0,39	0,42	0	0	-1,72	5,87
(16)	[qF						1,90	0,42	0,68	1,19	1,72

В таблице в скобках записаны значения коэффициентов, находящихся слева от диагональных. Строки, не относящиеся к номеру измерения (10 – 16), указаны в скобках.

В столбцах F для значений [qa и [qF вычисления производят по формулам (4.248):

- столбец F₁ : ; и т.д.;

- столбец F₂ : ; и т.д.

Полученные результаты используем для решения задачи методом краковянов. Для этого составим табл. 4.75 , в которую внесем значения нижней части таблицы 4.74.

В табл. 4.75 заносят диагональные коэффициенты в строки N, а у всех остальных коэффициентов меняют знак на противоположный. На противоположный знак следует изменить и у значений ∑.

Таблица 4.75

	K1	K2	K3	K4	K5	W	F1	F2	F3	F4	F5	s+W	Контр.
N1	2,18	1,08	0	0	-0,42	7	0	-0,42	0,68	0	0	5,74
N2		2,79	-1,32	0	-0,39	-18	-0,39	0	0	0	0	-21,81
N3			3,86	-1,51	0	16	1,51	0	0	0	0	10,82
N4				4,42	-1,72	-6	1,51	0	0	-1,19	1,72	-11,61
N5					2,53	-17	-0,39	-0,42	0	0	1,72	-21,15
N6							1,90	0,42	0,68	1,19	1,72
K1	1,476	0,732	0	0	-0,285	4,743	0	-0,285	0,461	0	0	3,889	3,890
K2		1,501	-0,879	0	-0,399	-9,679	-0,260	-0,139	0,225	0	0	-12,634	-12,632
K3			1,757	-0,859	0,200	13,95	0,989	0,070	-0,113	0	0	12,479	12,479
K4				1,919	-0,986	-9,371	0,344	-0,031	0,051	-0,620	0,896	-11,636	-11,636
K5					1,130	-2,177	-0,378	-0,211	-0,260	0,541	0,740	-2,875	-2,875

Вычисление весов функций производят по формуле

. (4.252)

Погрешность единицы веса определяем по формуле (4.241). При этом значение находим из расчетов, выполненных в примере 4.6.2:

= (2,38∙1,714² + 1,47∙1,457² + … + 0,84∙4,629² = 404,11.

мм .

Контроль вычисления выполняют по формуле (4.242).

Погрешности функций вычисляем по формуле (4.238):

мм : мм; мм; мм; мм.

Важной величиной является погрешность измерения превышений (передачи высоты) на 1 км хода. Она вычисляется по той же формуле (4.241), но предварительно необходимо определить вес 1 км хода. В выполненных расчетах единицей веса являлся ход длиной 2 км (см. исходные данные примера 4.6.2). Вес одного километра составит Тогда M_1км = мм.