1.5.2. Аналитическое сглаживание

Аналитическое сглаживание используют при сравнительно небольших объемах совокупностей, при необходимости проводить экстраполяции на концах распределения, где чаще всего возникают неопределенности.

Для сглаживания используют сравнительно простые в изображении и аналитическом виде функции: линейные, параболические, степенные, показательные, логарифмические и др.

1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией

Выполняется в тех случаях, когда распределение признака либо установленная эксперименатльно взаимосвязь двух признаков представляется линейной:

, (1.77)

где х и у – две сопоставляемых переменных, связь между которыми устанавливается; а и b – постоянные коэффициенты.

Поскольку каждому у_i соответствует определенное экспериментальное значение х_i, то для производства сглаживания имеется n уравнений

. (1.78)

Решение таких уравнений сводится к решению двух нормальных уравнений

, (1.79)

из которых легко находятся значения постоянных коэффициентов а и b.

Рассмотрим пример сглаживания линейной функцией.

Пример 1.14. По данным буровой разведки при исследовании вариационных рядов показателей мощности и содержания полезного ископаемого получены численные результаты, представленные в табл. 1.14 и на графике рис. 1.8. Содержание полезного ископаемого сгруппировано в 8 классов. В указанных классах затем были суммированы фактические мощности и получена средняя для каждого класса величина.

Выполнить сглаживание функции содержания от мощности по линейной зависимости.

Таблица 1.14

Показатели разведки

^{Число классов содержания – 8; h = 14 г/м3}

№№ классов	Мощность m, м	Содержание С, г/м3	m2	Cm
1	0,4	99	0,16	39,6
2	1,4	87	1,96	121,8
3	2,0	75	4,00	150,0
4	2,8	63	7,84	176,4
5	3,2	51	10,24	163,2
6	3,2	39	10,24	124,8
7	3,6	27	12,96	97,2
8	4,2	15	17,64	63,0
	20,8	456	65,04	936,0

Решение.

Подставим в формулу (1.79) соответствующие значения сумм, получим уравнения:

8b + 20,8a = 456 ;

20,82b + 65,04a = 936. (1.80)

Из решения уравнений (1.80) получим: а = -22,98677 = - 23,0; b = +116,76561 = + 116,8.

Таким образом, уравнение сглаживающей прямой будет иметь вид:

. (1.81)

Вид линейной сглаживающей функции представлен на рис. 1.8.

1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией

Показательная функция имеет вид:

, (1.82)

где х и у – переменные; a и b – постоянные коэффициенты.

Для решения задачи сглаживания предварительно целесообразно прологарифмировать данную функцию и для исследуемых вариационных рядов получить соответствующее число уравнений:

. (1.83)

Сравнение уравнения (1.83) с уравнением (1.78) показывает, что после логарифмирования получается система линейных уравнений. Для нахождения постоянных коэффициентов в данном случае следует воспользоваться формулами (1.79):

. (1.84)

При решении нормальных уравнений (1.84) предварительно находят логарифмы значений постоянных коэффициентов, а затем и сами постоянные коэффициенты.

Рассмотрим пример сглаживания показательной функцией.

Пример 1.15. Выполнить сглаживание данных, приведенных в примере 1.14, показательной функцией.

Решение.

Показательная функция будет иметь вид:

; (1.85)

нормальные уравнения для определения логарифмов постоянных коэффициентов примут вид:

. (1.86)

Составим таблицу для получения коэффициентов нормальных уравнений (1.86).

Таблица 1.15

Показатели разведки

^{Число классов содержания – 8; h = 14 г/м3}

№№ классов	Мощность m, м	Содержание С, г/м3	lgC	m2	lgC·m
1	0,4	99	1,99564	0,16	0,79825
2	1,4	87	1,93952	1,96	2,71533
3	2,0	75	1,87506	4,00	3,75012
4	2,8	63	1,79934	7,84	5,03815
5	3,2	51	1,70757	10,24	5,46422
6	3,2	39	1,59106	10,24	5,09141
7	3,6	27	1,43136	12,96	5,15291
8	4,2	15	1,17609	17,64	4,93958
	20,8	456	13,51564	65,04	32,94997

Получим нормальные уравнения:

8 lgb + 20,8 lga = 13,51564;

20,8 lgb + 65,04 lga = 32,94997. (1.87)

Из решения уравнений (1.87) получим:

lga = -0,19990 (a = 0,63111 = 0,63); lgb = 2,20919 (b = 161,88 = 161,9).

Таким образом, сглаживающая кривая будет иметь вид:

. (1.88)

Графическое изображение показательной сглаживающей функции представлено на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Аналитическое сглаживание экспериментальных данных

- экспериментальные данные (см. табл. 1.14)