Глава 4. Уравнивание геодезических построений

4.1. Задачи уравнительных вычислений

Проблема уравнивания геодезических, а также маркшейдерских построений в горных выработках, является весьма важной при выполнении измерений и их обработке в процессе создания опорных сетей на земной поверхности и в недрах, при выполнении точных и высокоточных специальных работ, при наблюдениях за деформациями наземных сооружений и горных выработок и др. Основными геодезическими построениями являются плановые Государственные геодезические сети 1, 2, 3 и 4 классов, а также сети 1-го и 2-го разрядов, высотные нивелирные сети I, II, III и IV классов. Все другие построения представляют собой сравнительно локальные фигуры в месте проведения маркшейдерских работ. Такими фигурами (построениями) могут быть: небольшие цепочки треугольников триангуляции или трилатерации; вставки в угол; центральные системы; геодезические четырехугольники; полигонометрические ходы и системы полигонометрических ходов; нивелирные ходы и системы нивелирных ходов и др.

Под уравниванием понимают комплексное решение трех основных задач:

- определение по результатам измерений надежных значений искомых величин, а также их функций, как косвенных результатов измерений;

- оценка точности результатов измерений;

- оценка точности функций измеренных величин.

Даже при весьма тщательных многократных измерениях одной и той же величины, в каждом из результатов с большой вероятностью практически неизбежно содержится ошибка, представляющая собой, в основном, суммарное воздействие приборных ошибок, личных ошибок наблюдателя и ошибок из-за влияния внешней среды. В связи с этим, даже при измерениях точно известных величин, например, суммы горизонтальных углов плоского многоугольника, возникают невязки, что приводит к неоднозначности в значениях измеренных углов. Указанная неоднозначность заключается в том, что остается неизвестной даже абсолютно правильно измеренная величина при наличии общей невязки.

Уравнительные вычисления дают возможность устранить практические невязки в различных геодезических построениях, найти вероятнейшие значения измеренных величин и выполнить оценку их точности. Хотя сама по себе неоднозначность в результатах измерений остается, поскольку существовала практическая невязка, и вероятнейшее значение измеренных величин получаются со степенью надежности, всегда меньшей единицы. При этом следует учитывать, что при введении поправок в результаты измерений какая-то из величин, либо несколько из них могут быть исправлены и в худшую сторону. Т.е. существует вероятность того, что, например, один из углов был измерен абсолютно точно, но из-за неопределенности, возникающей при появлении невязки, он искажается на величину поправки. В то же время, неправильно измеренный угол получает меньшее значение поправки, чем это следовало бы.

При изложении способов уравнивания принято во внимание, что читатель изучил разделы высшей математики, в которых рассматриваются вопросы теории вероятностей и математической статистики, дифференциальное и интегральное исчисления, теория матриц и решение систем линейных уравнений, вопросы теории ошибок результатов геодезических измерений и др.

В теории ошибок измерений (см. часть 1 пособия) рассматриваются правила математической обработки результатов многократных измерений одной независимой величины и оценки ошибок функций независимых величин. Эти правила могут применяться для любой совокупности измеренных величин при условии, что совокупность эта включает в себя только необходимые величины.

Необходимыми величинами, как уже отмечалось выше, являются такие независимые между собой величины, из которых можно получить для каждой искомой величины только одно единственное ее значение. В геодезической и маркшейдерской практике обычно измеряют, кроме необходимых и избыточные величины. Например, три стороны треугольника и один, два или три его угла, не (n – 1) угол многоугольника, а все его углы.

Если обозначить число необходимых измерений буквой k, а число избыточных измерений буквой r, то полное (общее) число измерений n = k + r.

Предположим, что нами измерены все внутренние углы в полигоне, состоящем из n вершин. Тогда число необходимых измерений составит k = n – 1, а число избыточных измерений r = 1. Каждый из измеренных углов, а также любые (n–1) углов, не позволяют составить математическое соотношение для суммы углов многоугольника, можно только вычислить значение неизмеренного угла. Однако для полной группы n измеренных углов можно записать, что

, (4.1)

где - точные значения горизонтальных углов; i= 1, 2, 3, …, n; знак «плюс» - для внешних углов, знак «минус» - для внутренних углов.

Заменим сумму точных значений углов на значения β_i измеренных углов. В этом случае можно записать, что

, (4.2)

где W – невязка, определяющая степень нарушения условия (6.1) и возникающая из-за неизбежных ошибок в результатах измерений.

Процесс уравнивания здесь заключается в ликвидации невязки, т.е. определении таких значений углов β_i´, при которых обеспечивается выполнение условия (4.1), т.е.

. (4.3)

Можно сформулировать следующие основные выводы:

- уравнивание возможно только при наличии избыточных измерений, а также при условии неизбежного появления малых по величине (допустимых) ошибок измерений необходимых и избыточных величин;

- уравнивание состоит в определении невязок в составленных математических соотношениях путем введения поправок v_i в результаты измерений и в нахождении вероятнейших значений искомых величин.

Для рассмотренного выше примера

; (4.4)

- избыточные измерения являются необходимым процессом для контроля и оценки точности результатов измерений.

Если при измерении n величин (k необходимых и r избыточных, причем r < n ) получены результаты х₁, х₂, …, х_n , точность которых определяется их весами р₁, р₂ , … , р_n , то можно составить r условных уравнений (4.1):

φ₁(х_o1, x_o2, …,x_oi ,…, x_on) = 0

φ₂(х_o1, x_o2, …,x_oi ,…, x_on) = 0

…………………………….

φ_j(х_o1, x_o2, …,x_oi ,…, x_on) = 0 (4.5)

……………………………

φ_r(х_o1, x_o2, …,x_oi ,…, x_on) = 0

где i = 1, 2, 3, …, n; j = 1, 2, 3, …, r.

Очевидно, что система условных уравнений (4.5) является неопределенной, поскольку содержит r уравнений с n неизвестными при r < n.

Значения х_i содержат ошибки. Если ввести в уравнения (4.5) вместо значений х_oi измеренные значения х_i, то получим другую систему уравнений, подобную (6.2):

………………………… (4.6)

…………………………

Устранение невязок W_i заключается во введении в значения х_i поправок v_i и получения уравненных значений результатов измерений:

х_i´ = х_i + v_i , (4.7)

т.е.

……………………………………………….. (4.8)

………………………………………………..

или, с учетом (4.7) ,

φ₁(х₁^', х₂^', … ,х_i^', …, х_n^') = 0

φ₂(х₁^', х₂^', … ,х_i^', …, х_n^') = 0

……………………………

φ_j(х₁^', х₂^', … ,х_i^', …, х_n^') = 0 (4.9)

……………………………

φ_r(х₁^', х₂^', … ,х_i^', …, х_n^') = 0

Непосредственно технология уравнивания заключается в нахождении единственных значений поправок v_i при множестве решений неопределенной системы уравнений (4.8) или (4.9). Для решения таких задач используется метод наименьших квадратов.

Условием, которое позволяет решить систему таких уравнений, является условие минимума сумм квадратов поправок v_i , вводимых в результаты измерений, выполненных равноточно, либо неравноточно с весами p_i, т.е.,

v_i² + v₂² + …+ v_n² = [v_i²] = min . (4.10)

р₁ v_i² + p₂ v₂² + …+ p_n v_n² = [p_i v_i²] = min . (4.11)

Поскольку в геодезических построениях выполняют обычно два вида измерений, углов и расстояний, то можно записать:

[p_sν_s] +[p_βν_β] = min. (4.12)

При измерениях в высотных сетях геометрического нивелирования используются формулы (4.10) и (4.11).

Следовательно, при уравнивании требуется найти минимум функций (4.10) - (4.12), если их переменные связаны с независимыми уравнениями (4.8).

Достоинствами принципа наименьших квадратов является то, что при использовании вторых степеней поправок ограничиваются большие поправки, в связи с чем при равноточных измерениях поправки сравнительно равномерно распределяются между результатами измерений. При неравноточных измерениях веса при поправках уменьшают поправки к более точным результатам измерений и увеличивают их для менее точных результатов.

Решение указанной задачи может быть реализовано двумя основными способами:

- способом Лежандра с неопределенными множителями, т.н. коррелатный способ уравнивания (условий или условных уравнений);

- способом абсолютного экстремума, который основан на представлении измеренных величин в виде функций некоторых параметров, т.н. параметрический способ уравнивания (способ необходимых или косвенных измерений).

Здесь нелишне напомнить, что Вы уже встречались с условием минимизации при анализе точности измерений: по такому же принципу находится средняя квадратическая ошибка. Как известно, средняя квадратическая ошибка вычисляется через суммы квадратов уклонений от арифметического среднего, либо через суммы произведений квадратов уклонений на веса измерений при обработке неравноточных измерений. Так вот как раз эти суммы являются минимальными из всех возможных для других значений вычитаемого, взятого вместо среднего или среднего весового.