- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
В этом примере используем схему нивелирных ходов, рассмотренную в примере п. 4.8.2.
1. В крупном масштабе привести указанную схему нивелирных ходов (рис. 4.19), на которой следует отметить и пронумеровать независимые полигоны. Число полигонов должно быть равно
, (4.235 )
где N – число замкнутых неперекрывающихся полигонов (N = 3); q – число исходных пунктов (q = 2), т.е. r = 4.
2. На схеме указать длины ходов, направление обхода полигонов (для всех: либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки). Внутри полигонов (под номером полигона) построить таблички невязок, в которые будут заноситься величины невязок в приближениях. С внешней стороны каждого хода разместить таблички поправок в измеренные превышения данного хода (для смежных полигонов вычерчиваются для одного и того же хода две таблички поправок – с двух сторон хода).
Рис. 4.19. Уравнивание способом полигонов (В.В.Попова)
3. Распределить невязки W в ходах пропорционально длинам ходов по формуле
. (4.236)
Веса превышений записываются в табличке поправок в верхней полукруглой графе (с округлением до 0,01). Сумма весов для полигона должна быть равна 1.
Уравнивание целесообразно начинать с полигона, имеющего большую невязку. В этом случае количество приближений сокращается. В примере уравнивание следует начинать с полигона (1).
Полигон (1). Невязка + 15 мм.
; ;
;
Полигон (2). В этот полигон входит поправка хода (3), равная +3,2 мм. Поэтому перед распределением поправкок значение невязки полигона (2) следует исправить: +8,0 +3,2 = +11,2 мм.
; ; .
Полигон (3).
Невязка в полигоне исправляется на величины уже известных поправок:
-6,0 + 3,3 + 3,7 = +1,0 мм.
; ; .
Полигон (4).
Невязка в полигоне исправляется на величины уже известных поправок: +13,0 + 5,0 + 4,5 = + 22,5 мм.
; .
4. Далее вся процедура уравнивания повторяется, начиная последовательность действияй с полигона (1).
Следует иметь в виду, что в последующем во всех полигонах невязка будет образована суммой поправок, находящихся в табличках внутри полигона.
Полигон (1). Невязка: - 1,8 + 3,0 + 0,2 = +1,4 мм.
v1 = + 0,5 мм ; v1 = + 0,5 мм ; v1 = + 0,5 мм ; v1 = + 0,5 мм.
Полигон (2). Невязка: +0,3 – 1,7 + 0,3 = - 1,1 мм.
v3 = - 0,3 мм ; v5 = - 0,4 мм ; v6 = - 0,4 мм .
Полигон (3). Невязка: + 0,3 – 0,4 = - 0,1мм.
v4 = 0,0 мм (округлена) ; v6 = 0,0 мм (округлена) ; v7 = - 0,1 мм .
Полигон (4). Невязка: + 0,5 – 0,4 = + 0,1 мм.
v5 = 0,0 мм ; v1 = + 0,1мм .
5. Под двойной чертой во всех табличках поправок получить их алгебраическую сумму.
6. Вычислить значения поправок по ходам.
Правило вычисления поправок следующее.
Для хода, принадлежащего двум смежным полигонам, поправка равна алгебраической сумме чисел внутренней и внешней табличек. При этом сумма поправок внешней таблички берется с обратным знаком:
- ход (1), полигон (1): - 1,7 + (-5,5) = - 7,2 мм;
- ход (1), полгон (4): + 5,5 + 1,7 = + 7,2 мм;
- ход (5), полигон (2): - 1,7 – 4,1 = - 5,8 мм;
- ход (5), полигон (4): + 4,1 + 1,7 = + 5,8 мм;
- ход (6), полигон (2): - 3,3 + 0,0 = - 3,3 мм;
- ход (6), полигон (3): + 3,3 + 0,0 = + 3,3 мм;
- ход (4), полигон (1): + 0,2 + (-3,6) = - 3,4 мм;
- ход (4), полигон (4): + 3,6 + (-0,2) = +3,4 мм.
Для свободного хода поправка соответствует вычисленной под двойной чертой таблички: ход (2): - 3,9 мм; ход (7): - 0,3 мм.
В данном случае окончательные значения поправок можно округлить до 1 мм. В особо ответственных случаях, например, в нивелирных сетях при измерениях деформаций сооружений, часто поправки округляют до 0,1 мм.
7. Вычислить уравненные превышения и высоты узловых точек (табл. 4.72).
Если направление хода при вычислении высот совпадает с направлением хода по полигону, которому принадлежит этот ход, то поправка в измеренное превышение вводится с тем же знаком, с которым она получена из уравнивания. Если не совпадает, то поправки берется с обратным знаком.
Как следует из таблицы 4.72 , значения уравненных высот отличаются не более, чем на 1 мм, что связано с округлением поправок.
Таблица 4.72
№ хода |
№№ точек |
Высота исходного репера, м |
Измеренное превышение, мм |
Поправка, мм |
Уравненное превышение, мм |
Уравненная высота, м |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Т о ч к а А |
||||||
1 |
Р1 |
76,248 |
+4264 |
-7 |
+4258 |
80,506 |
5 |
Р2 |
83,786 |
-3287 |
+6 |
-3281 |
80,505 |
|
|
|
|
|
|
80,506 |
Т о ч к а В |
||||||
3 |
А |
80,506 |
+1205 |
-1 |
+1204 |
81,710 |
6 |
Р2 |
83,786 |
-2074 |
-3 |
-2077 |
81,709 |
|
|
|
|
|
|
81,710 |
Т о ч к а С |
||||||
2 |
Р1 |
76,248 |
+3802 |
+4 |
+3806 |
80,054 |
7 |
Р2 |
83,786 |
-3732 |
0 |
-3732 |
80,054 |
4 |
В |
81,709 |
-1652 |
-3 |
-1655 |
80,054 |
|
|
|
|
|
|
80,054 |