1.6.8. Распределение

Данное распределение характеризует распределение суммы квадратов ν независимых случайных величин, причем, каждая из этих величин подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, равной единице.

Протность вероятности -распределения имеет вид

(при х ≥ 0); (1.129)

f(x) = 0 (при х < 0).

где ν – число степеней свободы; Г(х) – гамма-функция Эйлера (1.117).

Числовые характеристики -распределения: математическое ожидание М(Х) = ν; мода М_О = ν – 2 ( при ν ≥ 2); дисперсия D = 2 ν; асимметрия ; эксцесс .

Рис. 1.14. График плотности -распределения

График плотности -распределения показан на рис. 1.14, а квантили данного распределения представлены в приложениях 4 и 5.

используется в качестве меры расхождения теоретического и эмпирического рядов частот при оценках распределения показателей вариационных рядов. Этот показатель представляет собой сумму

, (1.130)

где r_i – частоты исследуемого вариационного ряда; р_i – вероятности теоретического распределения, с которым сравнивается распределение вариационного ряда; n – объем совокупности.

В последующих разделах будут приведены примеры использования параметра .

1.6.9. Показательное распределение

Показательное распределение называют еще экспоненциальным распределением. Оно описывает непрерывные случайные величины, которые имеют функцию плотности распределения вида

при х ≥ 0; при х < 0, (1.131)

где λ – постоянное число.

Интегральная функция распределения имеет вид

при х ≥ 0. (1.132)

При х < 0 интегральная функция равна нулю.

Вероятность попадания случайной величины в интервал легко находится как разность

Р(а < х < b) = . (1.133)

Математическое ожидание , мода М_О = 0, медиана M_e = , дисперсия D = , асимметрия А = 2, эксцесс Е = 6.

Решим задачу.

Пример 1.24. Случайная величина распределена по закону . Найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (1,93 < х < 2,56).

Решение.

Воспользуемся формулой (1.133).

Р(1,93 < х < 2,56) = 0,4278 – 0,3242 = 0,1036.

1.6.10. γ – распределение

Гамма-распределение (γ-распределение) часто используется при анализе эмпирических распределений показателей редких и цветных металлов и полиметаллов.

Плотность вероятности γ-распределения определяется выражением

при х ≥ 0, (1.134)

где α – параметр распределения, определяющий масштаб; β – параметр распределения, определяющий форму; Г(α+ 1) – гамма-функция Эйлера (1.117).

Интегральная функция определяется выражением

. (1.135)

Рис. 1.15. Вид графиков плотности γ – распределения для различных α и β

Для упрощения вычислений в выражении (1.135) делают следующую замену:

; . (1.136)

Тогда формула (1.135) записывается в виде т.н. неполной гамма-функции:

. (1.137)

Параметры α и β определяются по формулам:

; , (1.138)

где х_О – среднее арифметическое (среднее весовое); σ – стандартное отклонение.

Вид γ – распределения для различных значений параметров распределения представлен на рис. 1.15.

В приложении 7 приведены значения неполной гамма-функции.

Пример 1.25. Найти параметры γ – распределения и построить указанное распределение для результатов опробования месторождения, интервальный вариационный ряд которого представлен в табл. 1.4.

Решение.

Для определения параметров распределения воспользуемся результатами обработки данного вариационного ряда: среднее арифметическое (весовое) С_О = 361 г/м³ (пример 1.2); стандартное отклонение (стандарт) σ = 198 г/м³ (пример 1.6).

По формулам (1.138) и (1.136) получаем: ; .

Значение гамма-функции, в соответствии с таблицей приложения 7 и на основе свойства гамма-функции

(1.139)

или после n-кратного применения формулы (1.139)

, (1.140)

равно Г(1,82+1) = 1,82Г(1,82) = 1,82 · 0,9368 = 1,705.

В данном случае из (1.134) получим

. (1.141)

По формуле (1.141) вычислим искомые вероятности для построения данного теоретического распределения.

Таблица 1.26

Значения вероятностей γ – распределения содержания полезного ископаемого, представленного вариационным рядом в табл. 1.4

Сi, г/м3	122	239	356	473	590	707	824
ri	0,20	0,28	0,19	0,14	0,10	0,05	0,05
f(C)	0,21	0,28	0,23	0,16	0,10	0,05	0,03

Как видно из полученных данных, исследуемое распределение весьма близко к γ – распределению. Дальнейшие выводы будут даны ниже, в разделе 1.7.

1.6.11. F – распределение

F-распределение (распределение Фишера-Снедекора) называют еще распределением дисперсионного отношения. В связи с этим указанное распределение используется часто при статистических проверках гипотез, при оценках распределений, в дисперсионном анализе.

Плотность вероятности случайной величины, которая имеет F-распределение выражается довольно громоздким соотношением:

при х ≥ 0, (1.142)

при х < 0.

В формуле (1.142) ν₁ и ν₂ – параметры распределения (степени свободы); Г(а) – соответствующая гамма-функция Эйлера (1.117).

На рис. 1.16 показан вид функции (1.142). Квантили F-распределения представлены в приложении 8.

Рис. 1.16. График плотности F-распределения

Числовые характеристики F-распределения также определяются по соотношениям, содержащим два параметра распределения:

- математическое ожидание (при ν₂ > 2);

- мода (при ν₁ > 2);

- дисперсия (при ν₂ > 4);

- асимметрия (при ν₂ > 6).