3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений

3.4.1. Понятие о весе результата измерения

До сих пор мы говорили о результатах измерений, точность которых (степень доверия к ним) была одинаковая, весьма близкая по величине. Строго говоря, в природе измерений не существует равноточных величин. Обеспечить это весьма сложно, да во многих случаях и нет в этом необходимости. К равноточным измерениям можно отнести все результаты, ошибки которых не выходят за пределы допустимой величины, например, двойной средней квадратической ошибки.

Часто приходится иметь дело с разнородными величинами. Например, при выполнении геодезических измерений используют результаты длин линий, которые значительно отличаются по величине, либо измерены разными по точности приборами, либо однородные величины в группе измерены равноточно, но с разным числом измерений в группах и т.п. В этом случае, при оценке точности, говорят о неравноточных измерениях.

Если в качестве веса результата измерения взять число, которое характеризует точность, то по смыслу слова «вес» можно сказать, что, чем больше вес результата, тем выше его точность (тем меньше ошибка, с которой получен данный результат). Т.е. вес находится в обратно пропорциональной зависимости от ошибки результата. Пусть точность измерения какой-либо величины характеризуется средней квадратической ошибкой m, тогда вес Р определяют как отношение

. (3.38)

Значение с может быть любым, кроме нуля, но для анализируемой группы результатов измерений его принимают равным примерно среднему значению m по группе, в связи с чем значения весов результатов измерений не будут слишком большими или маленькими.

Очевидно, что величина средней квадратической ошибки зависит от числа измерений, а значит и от числа измерений зависит и вес: чем с большим числом измерений получен тот или иной результат, тем больше его вес.

Уже при обработке ряда равноточных измерений мы сталкивались с результатами, имеющими разный вес. Если принять за единичный вес результат одного измерения, то среднее арифметическое будет получено с большим весом, причем вес его будет в n раз больше, чем вес результата одного измерения.

Предположим, что при равноточных измерениях одной и той же величины Х (заранее неизвестной) выполнено три серии по n_i наблюдений в каждой: n₁, n₂, n₃, причем n₁ > n₂ > n₃. Примем значение с² в формуле (3.38) равным n₁. Поскольку значение средней квадратической ошибки обратно пропорционально корню квадратному из числа измерений, то квадрат средней квадратической ошибки будет обратно пропорционален числу измерений. В связи с этим формулу (68) можно переписать в виде

(3.39)

где n_o = .

В рассматриваемом случае Р₁ = 1, Р₂ = n₂ /n₁ , Р₃ = n₃ /n₁. Это говорит о том, что серии измерений неравноточны между собой.

Обозначим результаты измерений в сериях 1, 2 и 3 как x_1i , x_2i , x_3i и вычислим средние арифметические значения измеренной величины в каждой из серий: x_1о , x_2о и x_3о по формуле (3.6).

Для всей группы измерений значение арифметической середины x_о определится с учетом их весов из выражения

. (3.40)

Аналогичная формула получится и для случая n серий измерений.

Из формулы (3.40) следует, что вес арифметической середины равен сумме весов всех измерений, входящих в серии.

Веса всех измерений можно изменить в одинаковое число раз. От этого значение арифметической середины не изменится. То есть в качестве n_o можно взять и другое число, отличное от n₁, n₂ и n₃. Это число (с, n_o и др.) называют единицей веса.

При измерениях следует стремиться к тому, чтобы веса результатов измерений были близки друг к другу, т.е. значения p_i при соответствующем выборе коэффициента пропорциональности c должны быть близкими к единице (частный случай – равноточные измерения с весами, равными единице).

Далее приведем некоторые рекомендации по установлению веса того или иного результата измерения.

Принято считать, что горизонтальные углы в полигонометрических ходах и в рядах триангуляции при сравнительно больших длинах сторон измеряются равноточно, т.е. для всех углов p_βi = 1 и q_βi = 1 (где q – обратный вес результата измерения).

Если стороны s₁ и s₂ , образующие горизонтальный угол, сравнительно короткие, то для оценки веса измеренного угла следует учитывать вероятную ошибку центрирования t теодолита на ошибку направления. Эта ошибка m_н может быть оценена по формулам

, (3.41)

где ρ = 206265''

Поскольку угол β определяется как разность двух направлений (β = Н₁ – Н₂), то его ошибка определяется значением , т.е., с учетом (3.41),

. (3.42)

Примем условно за единичное расстояние среднее значение s_o = 0,5(s₁ + s₂), а в качестве коэффициента пропорциональности с , соответственно

. (3.43)

Тогда вес измеренного угла

. (3.44)

Например, стороны измеренного угла β₁ равны 200 м и 800 м, а угла β₂ – 400 м и 600 м. Среднее значение s_o в том и другом случаях равно 500 м. По формуле (3.44) получим p₁ = 0,301 и p₂ = 0,886, т.е. это говорит о большей вероятности того, что второй угол измерен точнее, чем первый.

При уравнивании полигонометрических ходов, в которых измерены горизонтальные углы и расстояния, причем, горизонтальные углы измерены равноточно, вес измеренного расстояния часто определяют по формуле

, (3.45)

где m_β - средняя квадратическая ошибка измерения угла (в секундах); m_s - средняя квадратическая ошибка измерения расстояния (обычно в сантиметрах).

Часто значение ошибки измерения расстояния известно в относительной форме, как ε_s . Тогда для конкретного расстояния s m_s = sε_s . Если же для сравнительно большого диапазона расстояний известна одинаковая для них величина m_s , то результаты измерения расстояний считают равноточными, но с весом, по отношению к весу углов, равным (3.45).

Веса измеренных превышений в секциях нивелирных ходов геометрического нивелирования часто ставят в зависимость от длины хода в секции, либо от числа штативов в секции. Тогда значение веса определяют по одной из формул:

, (3.46)

где L_o и n_o – соответственно средняя длина секции и среднее число штативов в секции нивелирного хода, либо в системе нивелирных ходов.

При определении весов отдельных измерений можно пользоваться не самой СКО, а величиной, определяющей ее. Например, числом измерений отдельного угла, расстояния, превышения, пролета и т.п., если, конечно, по каким-либо причинам выполнялись неравноточные измерения. В этом случае могут использоваться формулы (3.45).