2.2. Оценивание параметров распределения

2.2.1. Понятие оценки параметра распределения

Законы распределения случайных величин устанавливают на основе опыта. При этом очевидно, что число наблюдений (число случайных величин) всегда ограничено. При исследованиях поля случайных величин необходимо установить как устойчивые признаки данного явления, так и случайные признаки, котороые проявляются при ограниченных по объему наблюдениях. В связи с тем, что число наблюдений ограничено, то все параметры получают с приближенными оценками. Задача оценивания параметров распределения заключается в определении «наилучших» значений неизвестных параметров с указанием точности получения тех или иных значений. Оценка неизвестного параметра генеральной совокупности (по исследованию выборки) одним числом называется точечной оценкой. Кроме точечной оценки существует т.н. интервальная оценка, которая представляет собой числовой интервал значений параметра, в котором, с известной (установленной) вероятностью может находиться полученная точечная оценка.

Наилучшими оценками, как это принято в математической статистике, являются оценки, имеющие свойства состоятельности, которая определяется как

при , (2.1)

несмещенности, определяемой выражением

, (2.2)

и эффективности, характеризующейся минимальным значением дисперсии:

. (2.3)

В выражениях (2.1) – (2.3): – искомый параметр; – оценка искомого параметра; – математическое ожидание оценки; – дисперсия оценки.

В частности, если случайная величина равспеделена по нормальному закону, то среднее арифметическое ее значение (точечная оценка) как раз и имеет все указанные свойства – состоятельности, несмещенности и эффективности.

2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания

В основу интервальной оценки положен мотод доверительных интервалов. Если задаться т.н. доверительной вероятностью β, то можно определить доверительные интервалы по обе стороны от среднего значения случайной величины (точечной оценки), в пределах которой и будет находиться точечная оценка с установленным значением доверительной вероятности.

При построении доверительных интервалов возможно появление двух случаев:

– известно точное значение стандарта;

– имеются результаты сравнительно небольшого числа наблюдений, т.е. получено приближенное значение стандарта.

Если стандарт известен точно, то вероятность того, что значение случайной величины попадет в интервал от (х_о – Δ) до (х_о + Δ), равна

, (2.4)

где .

По таблице приложения 2 находят искомую вероятность.

Пример 2.1. При обработке данных статистической совокупности получено среднее значение параметра х_о = 756 ед., стандарт σ = 158 ед. Определить вероятность того, что среднее значение параметра принадлежит интервалу Δ = ± 100 ед.

Решение.

Находим значение t = 100/158 = 0,63.

По таблице приложения 2 по значениям параметра t = 0,60 и t = 0,65 и соответствующим им значениям вероятностей 0,45149 и 0,48431 интерполированием находим искомую вероятность р = 0,47118 ≈ 0,47.

При назначении той или иной величины доверительной вероятности β чаще всего исходят из опыта работ, однако часто большую роль играет и субъективный фактор. Далее, как и в предыдущих примерах, будем пользоваться доверительной вероятностью β = 0,95.

Точное значение стандарта предусматривает использование выборки большого объема.

При n ≥ 20 сравнительно точное значение стандарта может быть получено по формуле

, (2.5)

а при n >> 20 и по формуле

. (2.6)

Если же n < 20 и точное значение стандарта неизвестно, то используют распределение Стьюдента для безразмерной случайной величины t:

, (2.7)

где

- (2.8)

характеризует стандарт для среднего арифметического.

При этом следует иметь в виду, что исследуемое распределение должно подчиняться нормальному закону. В этом случае параметр t_i имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы (n – 1) и является функцией трех случайных величин (х_i , x_o , σ). Распределение Стьюдента целесообразно использовать при объемах выборки 20 ≥ n ≥ 10. При n > 20 можно переходить на использование нормального закона распределения, а при n < 10 использование распределения Стьюдента уже не является надежным.

Для практических расчетов составлена таблица приложения 10.

Пример 2.2. Найти доверительные границы эмпирического распределения, представленного в табл. 2.1. Объем выборки n = 16, среднее арифметическое х_о = 75,97 ед.

При решении использовать распределение Стьюдента при значении доверительной вероятности β = 0,95.

Таблица 2.1

К примеру 2.2.

№№ пп	xi	№№ пп	xi	№№ пп	xi	№№ пп	xi
1	76,3	5	76,1	9	76,4	13	76,1
2	75,8	6	76,0	10	76,3	14	75,5
3	75,4	7	75,8	11	75,9	15	76,2
4	76,7	8	75,2	12	76,0	16	75,8
						n = 16	хо = 75,97

Решение.

По формуле (2.8) находим значение стандарта для среднего арифметического:

.

По таблице приложения 10 для доверительной вероятности 0,95 (уровня значимости α = 0,05) и числа степеней свободы ν = 15 находим t = 2,13.

Поскольку из (2.7) следует, что , то получим значение интервала Δ = 2,13·0,10 = 0,213 ≈ 0,21.

Доверительный интервал с вероятностью 0,95 соответственно равен (х_о±Δ) = =(75,97±0,21).