- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
В разделе 1.7 не рассмотрены сопоставления эмпирических распределений с биномиальным, показательным и др. теоретическими распределениями. Приведен основной принцип исследований, который идентичен и для не рассмотренных теоретичеких распределений. Однако в любых случаях проведение указанных исследований требует большой внимательности и осторожности в выводах.
Далее приводятся некоторые рекомендации к решению задач по исследованию законов распределения вариационных рядов.
Предварительно составим общую таблицу, основанную на выводах в примерах 1.37 – 1.47, объединяющую исследования на закон распределения одного и того же вариационного ряда, представленного в виде упорядоченного ряда (табл. 1.2) и интервального ряда (табл.1.4), с использованием различных критериев и способов.
Таблица 1.34
Сопоставление критериев согласия
Критерии согласия, способы |
Теоретические законы распределения |
|||
Равномерное распределение |
Нормальное распределение |
γ-распределение |
Распределение Шарлье |
|
Критерий К.Пирсона |
нет |
нет |
да |
нет |
Критерий В.И.Романовского |
нет |
нет |
да |
да |
Критерий А.Н.Колмогорова |
нет |
нет |
да |
да |
По показателям асимметрии и эксцесса |
|
да |
|
|
Критерий Шарлье |
|
да нет |
|
|
Критерий Шовенэ |
|
да |
|
|
Способ Линдеберга |
|
да |
|
|
Критерий знаков |
|
да |
|
|
Приведенная таблица наглядно показывает т.н. «мощность» критериев К.Пирсона, В.И.Романовского и А.Н.Колмогорова. В единственном только случае отвергнуто распределение Шарлье по критерию К.Пирсона.
Что же касается упрощенных критериев и способов, то, как видно из той же таблицы, они «единогласно» признали, что исследуемое эмпирическое распределение может быть отнесено к нормальному распределению, а по критерию знаков – даже с вероятностью 0,95! В то же время все «мощные» критерии согласия также «единогласно» отвергают гипотезу соответствия эмпирического распределения нормальному распределению.
На что же следует обращать внимание при аналогичных исследованиях?
Во-первых, требуется четко поставить задачу: для чего проводится данное исследование? с какой степенью надежности необходимо (и достаточно) решить данную задачу?
Можно установить, например, уровень вероятности βКР такой величины, что вообще ни одно из известных распределений не будут соответствовать исследуемому. Имеет ли это смысл при исследовании, например, распределения содержания? Можно возвратиться к примерам 1.26 – 1.30 и установить, что при назначении βКР = 0,002 несколько изменится и содержание табл. 1.34.
В большом числе случаев показатели вариационных рядов настолько вырьируют (большой коэффициент вариации, большая дисперсия), что повторяемость опыта не обеспечивается с большой вероятностью. В связи с этим, при исследовании, например, характеристик и показателей месторождений полезных ископаемых следует ориентироваться на минимальное значение вероятности βКР = 0,05 (при строгих подходах, при больших объемах совокупностей), на средние значения βКР = 0,10 (для основной массы исследований) и на βКР = 0,20 (для оценочных выводов).
При исследовании работы оборудования, приборов и т.п., где требуется обеспечение высокой степени надежности, предварительно следует также установить соответствующий уровень значимости.
Во-вторых, необходимо проанализировать предшествующие исследования, в том числе и по другим подобным месторождениям, работам и т.п. Цель такого анализа: установить, является ли необходимым установление закона распределения; возможно ли использование, например, сглаживающей кривой и т.п.
В-третьих, если необходимость в установлении закона распределения остается, то целесообразно данное исследование выполнить с использованием всех «мощных» критериев согласия.
В-четвертых, упрощенными способами пользоваться в исключительных случаях, для предварительных оценок и не для окончательных выводов.