1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами

1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса

Показателем возможного отнесения данного эмпирического распределения к нормальному распределению является выполнение следующих условий:

; , (1.152)

где А и Е – соответственно асимметрия и эксцесс исследуемого распределения; ; .

Пример 1.32. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, представленного в табл. 1.4 на соответствие его нормальному распределению, используя показатели асимметрии и эксцесса.

Решение.

Воспользуемся данными примера 1.22: А = 0,67; Е = -0,38; n = 80.

_{; .}

Ответ: поскольку условие (1.152) полностью выполняется, то эмпирическое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением.

1.7.5.2. Критерий Шарлье

В соответствии с критерием Шарлье определяют абсолютную величину погрешности x_max , больше которой в исследуемом ряду, если он подчиняется нормальному закону распределения, может быть только одна.

Значение x_max находят по формуле

, (1.153)

где σ – стандартное отклонение (стандарт); t_max получают из условия

(1.154)

по таблице приложения 2 или вычисляют по формуле

(1.155)

подстановкой в нее значения, вычисленного по формуле (1.154) и решения указанного интергала.

Пример 1.33. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, представленного в табл. 1.4, с нормальным распределением, используя критерий Шарлье.

Решение.

Для указанного распределения: математическое ожидание С_О = 361 г/м³, стандарт σ = 198 г/м³ (значения выбраны из примеров 1.2 и 1.6).

Составим таблицу разностей центров интервалов с математическим ожиданием (данные разности называют ошибками).

Таблица 1.33

СОi	122	239	356	473	590	707	824
COi - CO	-239	-122	-5	+112	+229	+346	+463

Вычислим .

По таблице приложения 2 интерполированием находим t_max = 2,511.

Значение х_max = 2,511 · 198 = 497 г/м³.

Сопоставление с данными табл. 1.33 показывает, что в исследуемом ряду нет ошибки, превышающей 497 г/м³.

Вычислим среднюю ошибку данного ряда по формуле

, (1.156)

получим = 217 г/м³.

Для нормального закона распределения

. (1.157)

В примере х_СР = 0,798 · 198 = 158 г/м³.

Различие в средних (217 г/м³ и 158 г/м³), вообще говоря, существенное.

Ответ:

- эмпирическое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением по показателю х_max;

- эмпирическое распределение не согласуется с нормальным распределением по несовпадению средних ошибок (фактической и вычисленной по теоретической формуле).

1.7.5.3. Критерий Шовенэ

Данный критерий также предполагает вычисление х_max по формуле (1.153), но при этом значение t_max выбирают из таблицы приложения 2 по значению функции

. (1.158)

Пример 1.34. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, представленного в табл. 1.4, с нормальным распределением, используя критерий Шовенэ.

Решение.

Вычислим и по таблице приложения 2 интерполированием найдем t_max = 2,735 и затем значение х_max = 2,735 · 198 = 542 г/м³.

Сопоставление с данными табл. 1.33 показывает, что в исселуемом ряду нет ошибки, превышающей вычисленную (542 г/м³).

Ответ: эмпирическое распределение можно считать согласующимся с нормальным распределением.