4.5.4. Условие дирекционных углов

Для решения геодезического построения (при определении координат его точек) необходимо знать исходный дирекционный угол одной из его сторон. Если же в сети известны дирекционные углы других сторон, то каждый из них образует одно условие. Например, если в сети (рис. 4.3) известны дирекционные углы α₁, α₂ и α₃ , то геометрическое условие дирекционных углов запишется в виде:

(4.112)

Рис. 4.3. Условие дирекционных углов

или

(4.113)

Условные уравнения поправок в этом случае определяются выражениями:

, (4.114)

где

. (4.115)

В выражениях (4.112) – (4.114) принималось во внимание, что и все дирекционные углы были измерены, т.е. содержат ошибки и подлежат уравниванию. Чаще всего дирекционные углы принимают исходными, т.е. содержащими ошибки весьма малые по сравнению с ошибками измеренных углов. В этом случае выражения (4.114) запишутся в виде:

, (4.116)

где

(4.117)

(α₀ – исходные дирекционные углы).

4.5.5. Условие сторон

Предположим, что в фигуре (рис. 4.4) измерены все углы β и стороны s₁ и s₂ . Между сторонами, из решения треугольников, существует следующее соотношение:

. (4.118)

Это равенство можно представить в виде нелинейной функции

. (4.119)

Приведем нелинейную функцию (4.119) к линейному виду, разложив ее в ряд Тейлора и ограничиваясь только первыми членами разложения. Получим:

. (4.120)

Рис. 4.4. Условие сторон

Найдем частные производные:

, (4.121)

где s₂⁰ – вычисленное по формуле (4.118) значение s₂ по измеренным аргументам s₁ , β₁, β₃ , β₄, β₅. С учетом (4.121)

. (4.122)

Аналогично можно записать выражения для β₃ , β₄ и β₅ :

. (4.123)

Введем следующие обозначения:

(4.124)

Умножим выражение (4.120) на 1/s₂⁰ и подставим в него значения частных производных (4.121), (4.122), (4.123). Уравнение поправок будет иметь вид:

(4.125)

или

, (4.126)

где - относительная ошибка стороны s; - угловая мера радиана.

Если стороны s₁ и s₂ являются базисами (исходными), то поправки для них будут равны нулю. В этом случае условное уравнение поправок исходных сторон (базисов) упрощается:

, (4.127)

где базис.

4.5.6. Условие полюса

Условие полюса возникает в такой фигуре (рис. 4.5), в которой можно образовать замкнутый ряд треугольников, начинающихся и заканчивающихся на одной и той же стороне (например, центральная система, геодезический четырехугольник, веер). Если эту сторону принять за исходную (базис), то из

Рис. 4.5. Условие полюса

решения треугольников можно получить эту сторону вторично. Например, для центральной системы рис. 4.5 можно записать, что

. (4.128)

Условное уравнение поправок данного полюса с учетом введенных выше обозначений (4.126) имеет вид:

. (4.129)