4.6.1. Уравнивание углов в полигоне

В полигоне, состоящем из четырех вершин (рис. 4.7), неравноточно измерены горизонтальные углы: А = β₁ , В = β₂ , С = β₃ , D = β₄ (табл. 4.7).

Выполнить уравнивание углов без учета измерения длин сторон.

Предварительно найдем по формуле (3.44) веса p_i и обратные веса q_i , приняв м (см. табл. 4.7).

Таблица 4.7

Значения измеренных углов, веса и обратные веса углов

Обозначение	Значение угла	Вес pi	Обратный вес qi
β1	800 16'44,3"	0,442	2,261
β2	910 45'00,7"	0,921	1,086
β3	690 25'56,8"	0,948	1,055
β4	1180 32'25,2"	0,448	2,230

Шаг 1. Общее число измеренных величин n = 4, число необходимых измерений k = 3, число избыточных измерений r = 1.

Рис. 4.7. Уравнивание углов в полигоне

Шаг 2. Составим условное уравнение (условие сумм углов полигона).

β₁' + β₂' + β₃' + β₄' – 360⁰ = 0 . (4.135)

Всего одно уравнение, поскольку r = 1.

Шаг 3. Приводим условное уравнение к линейному виду, для чего продифференцируем его и найдем частные производные функции по аргументам β_i . Очевидно, что

а₁₁ = +1, а₂₁ = +1, а₃₁ = +1, а₄₁ = +1.

Составим матрицу коэффициентов a_ij со строкой обратных весов q_i (табл. 4.8).

Таблица 4.8

Матрица коэффициентов a_ij и обратных весов

i→ j↓	1	2	3	4
1	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1
qi	2,261	1,086	1,055	2,230

Свободный член уравнения

W₁ = [β_i] – 360⁰ = 360^о00'07,0" – 360^о = + 7".

Шаг 4. Найдем коэффициенты b_jj нормальных уравнений (в данном случае – уравнений коррелат):

, (4.136)

т.е.

. (4.137)

Для приведенного примера, с учетом значений a_ij и q_i , 6,632 k₁ + 7 = 0, откуда k₁ = - 1,055.

Шаг 5. Составляем условное уравнение поправок

. (4.138)

и формулы для вычисления поправок (с вычислением их значений):

Контроль по формуле (4.138): условие выполнено!

Шаг 6. Вычисляем уравненные значения углов:

β₁^' = 80^о16'44,3'' – 2,4'' = 80^о16'41,9'';

β₂^' = 91^о45'00,7'' – 1,1'' = 91^о44'59,6'';

β₃^' = 69^о25'56,8'' – 1,2'' = 69^о25'55,6'';

β₄^' = 118^о32'25,2'' – 2,4'' = 118^о1632'22,8''.

Контроль: подстановка уравненных значений углов в уравнение (4.135) – условие выполнено!

Очевидно, что при равноточных измерениях углов для них были бы получены одинаковые поправки, т.е. невязка была бы распределена поровну на все углы.

4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками

На местности пройдена система нивелирных ходов с четырьмя узловыми точками 1, 2, 3 и 4 (рис. 4.8). В результате измерений образовано 9 секций, превышения в которых по указанному направлению приведены непосредственно на схеме. Указаны также высоты исходных реперов Р10, Р20 и Р30. В табл. 4.9 приведены длины ходов в секциях и вычисленные значения весов и обратных весов превышений в секциях по формулам:

, (4.139)

где

Требуется определить уравненные значения высот узловых точек.

Рис. 4.8. Схема нивелирных ходов с четырьмя узловыми точками

Решение.

Шаг 1. Общее число измерений n = 9, число необходимых измерений k = 4, число избыточных измерений r = 5.

Таблица 4.9

Исходные данные

№ секции	Превышение h, мм	Длина хода s в секции, км	Вес p пре-вышения	Обратный вес q пре-вышения
1	+3586	0,84	2,38	0,42
2	+2841	1,36	1,47	0,68
3	-752	2,15	0,93	1,08
4	-1243	0,78	2,56	0,39
5	+509	2,63	0,76	1,32
6	+5338	2,05	0,98	1,03
7	-5863	3,02	0,66	1,51
8	+4639	3,44	0,58	1,72
9	-3024	2,38	0,84	1,19

Шаг 2. Составим r = 5 условных уравнений:

(4.140)

Шаг 3. Приведем условные уравнения к линейному виду, продифференцировав их по аргументам h_i . Получим коэффициенты a_ij условных уравнений поправок:

а₁₁ = +1 ; а₃₁ = +1; а₂₁ = - 1 ;

а₄₂ = +1 ; а₅₂ = +1 ; а₃₂ = - 1 ;

а₆₃ = +1 ; а₇₃ = +1 ; а₅₃ = +1 ;

а₇₄ = +1 ; а₈₄ = +1 ; а₉₄ = - 1 ;

а₁₅ = +1 ; а₄₅ = +1 ; а₈₅ = +1 .

Составим матрицу коэффициентов a_ij со строкой обратных весов q_i (табл. 4.10).

Таблица 4.10

Матрица коэффициентов a_ij и обратных весов

→ i j↓	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	+1	-1	+1	0	0	0	0	0	0
2	0	0	-1	+1	+1	0	0	0	0
3	0	0	0	0	+1	+1	+1	0	0
4	0	0	0	0	0	0	+1	+1	-1
5	+1	0	0	+1	0	0	0	+1	0
qi	0,42	0,68	1,08	0,39	1,32	1,03	1,51	1,72	1,19

Вычислим свободные члены (в мм), подставив в уравнения (4.140) измеренные значения h_i в секциях:

W₁ = h₁ + h₃ – h₂ = 3586 – 752 – 2841 = - 7 мм

W₂ = h₄ + h₅ – h₃ = -1243 + 509 – (-752) = +18 мм

W₃ = h₆ + h₇ + h₅ = 5338 – 5863 + 509 = - 16 мм

W₄ = h₇ + h₈ – h₉ – (H_P30 – H_P20) = - 5863 + 4639 – (-3024) – 1794 = +6 мм

W₅ = h₁ + h₄ + h₈ – (H_P30 – H_P10) = 3586 – 1243 + 4639 – 6965 = +17 мм

Шаг 4. Найдем коэффициенты b_jj нормальных уравнений коррелат:

(4.141)

После подстановки значений a_ij и q_i в уравнения (4.141) получим исходные нормальные уравнения коррелат:

1. 2,18k₁ – 1,08 k₂ + 0,42 k₅ – 7 = 0

2. -1,08 k₁ + 2,79 k₂ + 1,32 k₃ + 0,39 k₅ + 18 = 0

3. 1,32 k₂ + 3,86 k₃ + 1,51 k₄ – 16 = 0 (4.142)

4. 1,51 k₃ + 4,42 k₄ + 1,72 k₅ + 6 = 0

5. 0,42 k₁ + 0,39 k₂ + 1,72 k₄ + 2,53 k₅ + 17 = 0

Из решения системы уравнений (4.142) одним из способов, рассмотренных в п. 4.4, получим: k₁ = - 2,137; k₂ = - 11,552; k₃ = +9,606; k₄ = -3,882; k₅ = -1,945.

Контроль вычисления коррелат выполняем подстановкой их значений в исходные уравнения (4.142):

1. 2,18 (-2,137) – 1,08 (-11,552) + 0,42 (-1,945) – 7 = + 0,001

2. -1,08(-2,137) + 2,79(-11,552) + 1,32(+9,606) + 0,39(-1,945) + 18 = -0,001

3. 1,32(-11,552) + 3,86(+9,606) + 1,51(-3,882) – 16 = - 0,031

4. 1,51(+9,606) + 4,42(-3,882) + 1,72(-1,945) + 6 = +0,001

5. 0,42(-2,137) + 0,39(-11,552) + 1,72(-3,882) + 2,53(-1,945) + 17 = -0,001

Сравнительно большее невыполнение условия наблюдается в уравнении 3. Это вызвано ошибками округлений. При вычислении с большими значащими цифрами этого не наблюдалось бы. При этом результаты вычислений принимаем удовлетворительными, поскольку поправки в измеренные значения превышений для данных условий будут в дальнейшем округляться до 1 мм, а вычисления проведены с запасом точности.

Шаг 5. Составляем условные уравнения поправок v_i , пользуясь данными табл. 4.10:

(4.143)

После подстановки значений q_i, a_ij и k_j в (4.143) получим:

1. v₁ = 0,42*1*(-2,137) + 0,42*1*(-1,945) = - 1,714 = - 2 мм

2. v₂ = 0,68 * (-1)*(-2,137) = + 1,453 = + 1 мм

3. v₃ = 1,08 * 1 * (2,137) + 1,08 * (-1) * (-11,552) = +10,168 = + 10 мм

4. v₄ = 0,39 * 1 * (-11,552) + 0,39 * 1 * (-1,945) = - 5,264 = - 5 мм

5. v₅ = 1,32 * 1 * (-11,552) + 1,32 * 1 * (+9,606) = - 2,569 = - 3 мм

6. v₆ = 1,03 * 1 * (+9,606) = + 9,894 = + 10 мм

7. v₇ = 1,51 * 1 * (+9,606) + 1,51 * 1 * (-3,882) = + 8,643 = + 9 мм

8. v₈ = 1,72 * 1 * (-3,882) + 1,72 * 1 * (-1,945) = - 10,022 = - 10 мм

9. v₉ = 1,19 * (-1) * (-3,882) = + 4,620 = + 5 мм

Контроль вычисления поправок можно выполнить по формулам (4.140):

1. v₁ + v₃ – v₂ = - 2 + 10 – 1 = + 7 мм (= - W₁)

2. v₄ + v₅ – v₃ = - 5 – 3 – 10 = - 18 мм (= - W₂ )

3. v₆ + v₇ + v₅ = +10 + 9 – 3 = + 16 мм (= - W₃ )

4. v₇ + v₈ – v₉ = + 9 – 10 – 5 = - 6 мм (= - W₄ )

5. v₁ + v₄ + v₈ = - 2 – 5 – 10 = - 17 мм (= - W₅ )

Шаг 6. Вычисляем уравненные значения превышений в секциях и контролируем уравнивание по выполнению условия (4.140):

h₁' = + 3586 – 2 = + 3584 мм

h₂' = + 2841 + 1 = + 2842 мм

h₃'= - 752 + 10 = - 742 мм

h₄ '= - 1243 – 5 = - 1248 мм

h₅' = + 509 – 3 = + 506 мм

h₆ '= + 5338 + 10 = + 5348 мм

h₇' = - 5863 + 9 = - 5854 мм

h₈' = + 4639 – 10 = + 4629 мм

h₉ '= - 3024 + 5 = - 3019 мм

Подстановка в уравнения (4.140) подтверждает выполнение указанного условия.

Вычисляем уравненные значения высот узловых точек 1, 2 , 3 и 4:

Н₁ = Н_Р10 + h₁' = 78,336 + 3,584 = 81,920 м

H₂ = H_P10 + h₂' = 78,336 + 2,842 = 81,178 м

H₃ = H_P20 – h₉' = 83,507 – (- 3,019) = 86,526 м

H₄ = H_P30 – h₈' = 85,301 – 4,629 = 80,672 м

Контроль вычислений здесь можно выполнить вторичным получением высот искомых точек по другим направлениям. Должны получиться те же результаты. Например, H₁ = H_P30 – h₈' – h₄' = 85,301 – 4,629 + 1,248 = 81,920 м.

Задача решена.