3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений

3.2.1. Средняя квадратическая погрешность

Средняя квадратическая погрешность является мерой точности результатов измерений, либо функций измеренных величин, и является вероятностной характеристикой.

Предположим, что нам известно значение средней квадратической погреш-ности m. В соответствии с нормальным законом распределения график распре-деления истинных погрешностей будет подобен изображенному на рис. 2.53.

Параметр f(x) характеризует частоту (или частость) появления истинных случайных погрешностей той или иной величины и знака. При этом вероятность появления погрешностей в заданном диапазоне, например, ±m, определяется площадью фигуры, ограниченной кривой распределения и отрезками ординат при значениях +m и -m. Для нормального закона распределения вероятность появления погрешностей в установленных диапазонах равна следующим значениям :

для диапазона ±m ® Р = 68,3% (» 68%);

для диапазона ±2m® Р = 95,5% (» 95%);

для диапазона ±3m® Р = 99,7% (практически 100%).

Таким образом, только в 3-х случаях из 1000 может появиться погрешность, превышающая значение 3m. Такие погрешности принято считать грубыми, и результаты измерений, содержащие такие погрешности, исключают из дальнейшей обработки.

В некоторых случаях, для ужесточения требований к точности измерений, устанавливают предельную погрешность до 2m.

Часто значение средней квадратической погрешности указывают с коэффициентом t (коэффициент Стьюдента), который и определяет доверительный вероятностный интервал (х ± tm) результата измерений при установленном уровне вероятности Р. ...Например, необходимо определить доверительный интервал для величины Х с вероятностью 75%. По таблице интерполированием находим, что для Р₁ = =72,9 t₁ = 1,1, для Р₂ = 77,0 t₂ = 1,2: t_х » 1,15.

Это значит, что результат измерений с вероятностью 75% находится в пределах (Х ± 1,15m).

Если измеряемая величина Х известна, то значение средней квадратической погрешности определяется по формуле Гаусса:

, (3.9)

где –Δ – истинные погрешности измерений.

Для случаев, когда измеряемая величина неизвестна, используется формула Бесселя:

, (3.10)

где –v – уклонения результатов измерений от среднего арифметического.

Как видно из формул (3.9) и (3.10), в случае, когда измеряемая величина известна, для оценки точности достаточно уже одного измерения (оно и является необходимым). А для оценки точности по формуле Бесселя необходимыми являются как минимум два измерения.

При возрастании числа измерений значения средних квадратических погрешностей, полученных по формулам Гаусса и Бесселя, становятся практически одинаковыми (примерно с n ³ 20). При этом значение средней квадратической погрешности одного измерения стремится к пределу m_пред, который определяется точностью прибора, точностью метода или программы измерений. Очевидно, что на практике невозможно, да и нецелесообразно по ряду причин, обеспечивать весьма большое число измерений одной величины. При этом практическое число измерений должно обеспечивать получение результата измерения с наперед заданной точностью при установленном уровне доверительной вероятности.

Поскольку число измерений является ограниченным, то сама средняя квадратическая погрешность содержит погрешность, определяемую по приближенной формуле:

. (3.11)