Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин

1.1. Понятие случайной величины

1.1.1. Виды измерений

При изложении материала данного учебного пособия речь будет идти о величинах, определяющих какие-либо количественные стороны того или иного объекта. При этом будет также уделяться внимание и основным качественным характеристикам объекта, весьма необходимым при оценке объекта и производимых на нем маркшейдерских работ.

Объектом может быть поле месторождения полезного ископаемого, количиственными характеристиками которого являются, например, содержание полезного ископаемого в единице объема, можность залежи полезного ископаемого, вертикальный запас, физические свойства горных пород и мн.др. Горизонтальные углы, расстояния, превышения в различных геодезических построениях также могут являться объектами наблюдений, поскольку при наблюдениях этих объектов многократно получают их количественные характеристики, требующие определенной количественной и качественной оценки.

Измерение предусматривает количественное сравнение какой-либо определяемой количественной характеристики данного объекта с другой, однородной ей величиной с помощью, например, соответствующего измерительного средства.

Во многих случаях невозможно использовать какую-либо меру для непосредственного сравнения с ней измеряемой величины. Например, площадь земельного участка, объем горных пород в отвалах, высота точки в принятой системе высот, прямоугольные координаты точки и др. В связи с этим все рассматриваемые величины следует разделить на две группы: величины измеренные и величины вычисленные.

Полагают, что измеренные величины получают непосредственно, путем сравнения с единицей средства измерения, а вычисленные величины получают косвенно, как функцию двух или нескольких непосредственно измеренных величин. Почему полагают? Дело в том, что практически любая непосредственно измеренная величина чаще всего является вычисленной, косвенной. Например, измеренный непосредственно, как мы полагаем, горизонтальный угол является разностью двух отсчетов по горизонтальному кругу теодолита. Хотя можно назвать и примеры чисто непосредственно измеренных величин. Например, число частиц какого-либо вещества в единице объема. Мерой измерения здесь является счет, целые положительные порядковые числа.

Используется понятие результат измерений, под которым понимается конечный результат, получаемый в процессе измерений и вычислений.

Конечный результат может и должен проявляться на протяжении всей производимой работы, на всех ее этапах. Предположим, что целью работ является построение съемочного обоснования для исполнительной съемки выполненных строительных работ. Казалось бы, конечным результатом является съемочное обоснование. Для технического задания – это так. Для исполнителя же работ конечными результатами являются: каждый из измеренных горизонтальных углов, а также их сумма, полученная после анализа качества измерения углов; каждая из измеренных линий полигонометрического хода, а также, как конечный результат, координаты точек хода; каждое из измеренных превышений, их сумма по нивелирному ходу, высоты точек хода и др.

Результаты измерений в своей группе могут быть равноточными и неравноточными.

На практике чисто равноточных измерений не существует, в идеальном виде они и не могут быть выполнены. Но при определенных ограничениях, оговариваемых методикой работ, результаты измерений могут быть отнесены к равноточным.

К равноточным измерениям относят измерения, для которых соблюдена полная группа следующих требований:

- выполнение измерений одним и тем же прибором либо разными приборами, но одного класса точности;

- выполнение измерений в одинаковых внешних условиях, выполнение измерений одним и тем же наблюдателем либо двумя или несколькими наблюдателями одинаковой квалификации;

- выполнение измерений при строгом соблюдении принятой к работе методики или указаний, установленных соотвествующими инструкциями и руководствами.

Если хотя бы одно из перечисленных требований будет не соблюдено, то вся группа измерений может быть отнесена к неравноточным.

Число измерений или число измеренных величин может быть необходимым и избыточным.

Необходимое число измерений должно обеспечивать заданную точность измерений. Например, для обеспечения заданной точности содержание полезного ископаемого в пробе определяют много раз, для чего пробу измельчают, перемешивают, делят на несколько навесок (частей) и определяют содержание в каждой навеске и среднее содержание в навеске, которое и принимается за конечный результат по данной пробе.

Необходимым числом измеренных величин называют то их минимальное число, при котором обеспечивается решение поставленной задачи. Например, чтобы узнать значение одного из углов треугольника необходимо измерить только два других и вычислить третий. Здесь число необходимых измеренных величин равно двум. А для определения площади треугольника необходимо знать как минимум три измеренных величины (при этом хотя бы одна из измеренных величин должна быть линейной): все три стороны; сторону и прилежащие к ней два угла и т.п.

Избыточные величины, их количество или их число, это все дополнительные измерения, превышающие число необходимых. Например, в треугольнике измерены по два раза два угла и один раз третий угол. Общее число измерений равно пяти, из них избыточными являются три либо два, если была поставлена задача измерения всех трех углов треугольника.

Маркшейдерские измерения, связанные более всего с геодезическими работами, обязательно выполняют с избыточными данными. Это значительно повышает точность измерений, обеспечивает надежность проводимых работ, да и позволяет производить оценку точности полученных результатов. Понятно, что, измерив, например, все пять углов пятиугольника, можно оценить качество работ по полученной сумме углов: насколько полученная сумма отличается от теоретической; насколько полученное отличие согласуется с установленными требованиями к точности измерений.