- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
1.7.1. Критерии согласия
Одним из условий, которое мы принимаем по умолчанию при исследовании эмпирических распределений, является предположение того, что данный признак распределен по некоторому закону, который имеется у нас в ряду известных нам теоретических законов распределения случайных величин. Таким образом, исследователь имеет ряд S некоторых теоретических законов распределения и некоторое эмпирическое расределение признака, установленное или представленное в табличной или аналитической форме. В общем случае требуется выполнить S сопоставлений эмпирического и теоретических распределений, чтобы принять решение об отнесении исследуемого распределения к какому-либо близкому по характеристикам теоретическому распределению.
Практический опыт показывает, что в ста случаях из ста эмпирическое распределение точно не совпадет с теоретическим. Несовпадения могут оказаться большими, как говорят – неслучайными, либо малыми – случайными. При исследовании эмпирического распределения на соответствие какому-либо известному закону распределения возможно получение трех ответов:
а) данное распределение соответствует данному теоретическому закону распределения;
б) данное распределение не соответствует данному теоретическому закону распределения;
а) данное распределение не соответствует ни одному из известных теоретических законов распределения.
Последний вывод может состояться только после исследования эмпирического распределения на соответствие всем S известным теоретическим распределениям. Первые два вывода должны быть получены при каждом из S исследованиях на соответствие тому или иному закону. Исследование может быть остановлено при получении вывода а, когда с достаточной степенью надежности принимается утверждение, что эмпирическое распределение может быть охарактеризовано данным теоретическим распределением.
Надежность или достоверность выводов а и б определяют т.н. критерии согласия, а также способы и приемы сопоставления основных характеристик распределения случайных величин. Использование того или иного критерия согласия, того или иного правила, основано на том, что любой закон распределения случайной величины определяет вероятность того, что данная случайная величина примет какое-нибудь значение не меньшее заданного числа α. Часто указанную вероятность обозначают буквой β. Таким образом,
β = P (Х ≥ α). (1.143)
Как используется данное соотношение?
Если вероятность β маленькая, то это значит, что наступило маловероятное событие. То есть, если, например, сопоставляются два распределения, и при этом получается малая вличина β, то следует принять решение, что сопоставляемые распределения не совпадают по характеристикам. И наоборот, если β является сравнительно большой величиной, то следует признать решение о совпадении исследуемого распределения с сопоставляемым с ним теоретическим.
Для практических целей часто рекомендуется принимать граничное значение βГР = 0,01, при котором исследуемое событие считают маловероятным. Однако исследователю в каждом конкретном случае следует принимать значение βГР из практических соображений и важности решения той или иной задачи. Очевидно, например, что вероятность отказа какого-либо элемента в космических приборах должна быть весьма малой. В то же время, при исследовании, например, соответствия эмпирического распределения теоретическому вряд ли грамотно с инженерной точки зрения задавать значение βГР = 0,01. Здесь не даются рекомендации о выборе βГР, исследователь сам может установить для того или иного случая соответствующее его значение, равное, например, 0,00001, 0,0001, 0,001, 0,02, 0,05, 0,1 и т.п. Можно согласиться с тем, что часто достаточной будет надежность вывода с вероятностью 95% или 90%.
При исследованиях используют т.н. «мощные» критерии согласия (К.Пирсона, В.И.Романовского, А.Н.Колмогорова), а также оценочные (упрощенные) критерии для предварительных выводов (Шовенэ, Шарлье, формы кривой распределения, критерий знаков, правило Линдеберга).