3.1.3. Свойства случайных погрешностей

Группа случайных погрешностей измерения одной и той же величины подчиняется нормальному закону распределения.

Рассмотрим ряд случайных погрешностей, определяемых как отклонение результата измерения х_i одной и той же величины, свободного от грубых и систематических погрешностей, от истинного значения Х:

(3.3)

На основании теоретических и опытных данных установлены следующие свойства ряда случайных погрешностей.

Свойство 1. При выполнении измерений одной величины равновероятно появление случайных погрешностей, равных по величине, но противоположных по знаку.

Свойство 2. Малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.

Свойство 3. При неизменных условиях измерений случайные погрешности не превосходят по абсолютной величине известного предела:

(3.4)

Свойство 4. При большом числе измерений среднее арифметическое из случайных погрешностей стремится к нулю, т.е.

(при n → ∞ ) (3.5)

Здесь и в дальнейшем квадратные скобки […] являются символом суммы (символ введен математиком Гауссом).

3.1.4. Среднее арифметическое

Как уже говорилось выше, погрешность измерения представляет собой разность между самим результатом измерения х_i и его истинным значением Х, определяемую по формуле (3.1).

Если результат измерения заранее известен, то, казалось бы, зачем производить измерения? Однако такие действия часто приходится выполнять. Например, при проверке правильности работы или показаний прибора по эталону. Да и при самих непосредственных измерениях, например, углов в треугольнике – сумма углов треугольника (или многоугольника) является эталоном, известной величиной.

В основном результаты измерений заранее неизвестны. Что же представляет собой погрешность измерений в этом случае, и каким образом можно ее определить?

Представим себе ряд измерений одной и той же величины Х для случая, когда число измерений весьма большое (n ® ∞). Составим ряд истинных погрешностей измерений, полагая, что измеряемая величина нам известна.

Сложим все разности в правых и левых частях формул (3.5) и разделим полученные результаты на n, получим

. (3.6)

В соответствии со свойствами случайных погрешностей отношение [D]/n стремится к нулю при n ® ∞ . Отношение [х]/n = х_о называется средним арифметическим из результатов измерений.

С учетом сказанного можно записать, что

(х_о ® Х) _{n ® ∞} , (3.7)

т.е. среднее арифметическое из результатов измерений при возрастании числа измерений стремится к истинному значению.

Таким образом, при определении погрешностей измерений с какой-то долей надежности (зависящей от числа измерений) можно использовать величину среднего арифметического вместо истинного значения измеряемой величины. В этом случае истинные погрешности будут являться уклонениями результатов измерений от среднего арифметического:

v_i = х_i - x_о (3.8)

В теории погрешностей доказано, что ряд уклонений v_i от арифметического среднего также подчиняется нормальному закону распределения и обладает всеми свойствами случайных погрешностей.