3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений

В абсолютном большинстве случаев в геодезических работах производят двукратные измерения однородных величин: длин линий (примерно одинаковых по величине), горизонтальных углов (образованных примерно одинаковыми по величине сторонами), превышений и др. Также, как и при многократных измерениях одной величины, здесь возникает необходимость оценки точности измерений, т.е. определения средней квадратической погрешности разности двойных измерений.

Предположим, что мы имеем ряд из n парных равноточных измерений х_i и x_i^´, для которых можно составить разности d_i :

d_i = x_i - x_i^´ . (3.25)

В этом случае, полагая, что в исследуемом ряду в разностях не содержатся систематические погрешности, можно записать для средней квадратической погрешности разности

. (3.26)

Поскольку измерения равноточные, то можно записать, что

, (3.27)

где m – средняя квадратическая погрешность одного измерения.

С учетом (3.26) и (3.27) получим

. (3.28)

Двойные измерения одной величины позволяют в большой степени обнаружить систематические погрешности одного знака и примерно одной величины (односторонние погрешности). Если систематические погрешности отсутствуют, то сумма разностей двойных измерений весьма близка к нулю, т.е. [d] = 0. Наличие в измерениях систематической погрешности приводит к ее накоплению в сумме разностей двойных измерений, в связи с чем получится величина q = [d]. При n измерениях доля накопленной систематической погрешности в каждой разности будет составлять

. (3.29)

Если из значений разностей двойных измерений исключить величину систематической погрешности,

, (3.30)

то среднюю квадратическую погрешность разности можно вычислить по формуле

, (3.31)

а среднюю квадратическую погрешность одного измерения – по формуле

. (3.32)

Критерий допустимости систематических погрешностей определяется следующим выражением:

. (3.33)

В табл. 3.2 приведены результаты двойных равноточных однородных измерений длин линий светодальномером. Требуется определить наличие в результатах измерений систематической погрешности и выполнить оценку точности одного измерения.

Таблица 3.2

Пример 3.5. Обработка ряда двойных однородных равноточных измерений

№№ п/п	1-е измерение, хi , м	2-е измерение, хi´ , м	Разности, di , м	Система-тическая погрешность, qi	Случайная погрешность, δi	δi2 х 10-6
1	647,263	647,261	+ 0,002	- 0,005	+ 0,007	49
2	624,850	624,857	- 0,007	- 0,005	- 0,002	4
3	636,304	636,315	- 0,011	- 0,005	- 0,006	36
4	652,842	652,844	- 0,002	- 0,005	+ 0,003	9
5	638,219	638,209	- 0,010	- 0,005	- 0,005	25
6	625,347	625,346	+ 0,001	- 0,005	+ 0,006	36
7	644,936	644,936	0,000	- 0,005	+ 0,005	25
8	650,027	650,015	- 0,012	- 0,005	- 0,007	49
9	641,006	641,013	- 0,007	- 0,005	- 0,002	4

Разности d в таблице получены как 1-е измерение минус 2-е измерение.

Сумма разностей двойных измерений [d] = - 0,046 м, что говорит о наличии в результатах двойных измерений систематической погрешности. Ее значение равно

q_i = [d] /n = - 0,046 : 9 = - 0,005 м. . Т.е. величиной систематической погрешности пренебрегать нельзя.

Образуем ряд случайных погрешностей, см. формулу (3.30), и возведем полученные уклонения в квадрат (для сокращения записи введен сомножитель 10^-6).

Сумма квадратов уклонений [δ_i²] = 237 ∙ 10^-6 = 0,000237.

Средняя квадратическая погрешность разности двойных измерений

м.

Средняя квадратическая погрешность одного измерения m = m_d / = 0,0054 / 1,41= =0,004 м.

Следует иметь в виду, что значение m получено как вероятная погрешность по девяти парным измерениям сравнительно одинаковых длин линий. Случайные погрешности в измерениях 1, 3, 6 и 8 превышают полученное значение m_d. Независимо от этого принято считать, что любая из линий измерена со средней квадратической погрешностью 0,004 м.

Среднее значение любой измеренной линии имеет погрешность М = = 0,003 м, как это следует из формулы (3.10) для двух измерений.