- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
4.2. Коррелатный способ уравнивания
Приведенная выше система уравнений (4.8) имеет нелинейный вид. В математике не существует способов решения таких систем нелинейных уравнений. В связи с этим данную систему уравнений раскладывают в ряд Тейлора, ограничиваясь только первыми членами разложения с учетом того, что значения поправок vi достаточно малы (на основании выдержанных при измерениях допусков по точности), и вторые их степени будут весьма малыми, что ими можно пренебречь. В результате уравнения (4.8) преобразуются к виду:
(4.13)
……………………………………………………..
Введем обозначения:
(i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, r) , (4.14)
где i – номер измеренной величины (х); j – номер условного уравнения (или функции φ).
С учетом введенных обозначений получим:
а11v1 + a21v2 + … + an1vn + W1 = 0
а12v1 + a22v2 + … + an2vn + W2 = 0 (4.15)
……………………………………
а1rv1 + a2rv2 + … + anrvn + Wr = 0
В обозначениях гауссовых сумм:
[a1v] + W1 = 0
[a2v] + W2 = 0 (4.16)
………………
[arv] + Wr = 0
Равенства (4.15) и (4.16) называются условными уравнениями поправок.
Следует иметь в виду, что формулы (4.14) не используются, если известно, что система уравнений (4.8) имеет линейный вид, т.е. коэффициенты aij известны.
Для решения задачи уравнивания способом Лагранжа необходимо составить следующую функцию:
, (4.17)
где - неопределенные множители Лагранжа.
Обозначим: , где - коррелаты. Тогда функцию (4.17) можно записать со значениями коррелат:
. (4.18)
Для определения поправок vi , при которых функция (4.18) достигает минимума, найдем частные производные по аргументам vi и приравняем их нулю:
(4.19)
………………………………………..
Из полученной системы уравнений следует, что
(i= 1, 2, …, n) (4.20)
или
, (4.21)
где - обратный вес измерения с индексом i.
Уравнения (4.20) и (4.21) называют коррелатными уравнениями поправок.
Число коррелат всегда равно числу условий. В результате образуется система коррелатных уравнений поправок vi , содержащая n неизвестных поправок vi и r неизвестных коррелат kj , состоящая из (n+r) линейных уравнений.
Опуская промежуточные, хотя и важные преобразования , основанные на методе наименьших квадратов, приведем т.н. нормальные уравнения коррелат, в которых число неизвестных равно числу уравнений:
(4.22)
…………………………………………
………………………………………….
В уравнениях (4.22) неизвестными являются коррелаты ki , а свободными членами – свободные члены уравнений поправок (4.15) и (4.16).
Как видно, при каждом параметре (неизвестном) ki в уравнениях (4.22) стоит коэффициент в виде гауссовой суммы. Представим указанные коэффициенты в развернутом виде с помощью таблицы коэффициентов уравнений поправок (табл. 4.1).
Таблица 4.1
Общий вид матрицы коэффициентов aij и обратных весов qi уравнений поправок
i
j |
1 |
2 |
3 |
… |
i |
… |
n |
1 |
a11 |
a21 |
a31 |
… |
ai1 |
… |
an1 |
2 |
a12 |
a22 |
a32 |
… |
ai2 |
… |
an2 |
3 |
a13 |
a23 |
a33 |
… |
ai3 |
… |
an3 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
j |
a1j |
a2j |
a3j |
… |
ajj |
… |
anj |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
r |
a1r |
a2r |
a3r |
… |
ajr |
… |
anr |
qi |
q1 |
q2 |
q3 |
… |
qi |
… |
qn |
Развернутый вид коэффициентов , в которых индекс при коэффициентах а – это второй индекс коэффициентов условных уравнений поправок:
……………………………………………… (4.23)
………………………………………………
Рассмотрим подробнее принцип вычисления коэффициентов bjj при коррелатах kj в нормальных уравнениях коррелат.
1-е уравнение коррелат.
Коэффициент при k1 равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов первой строки матрицы.
Коэффициент при k2 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и 2-й строк матрицы.
Коэффициент при k3 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и 3-й строк матрицы и т.д.
………………………………………………………………………………….
Коэффициент при kj равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и j-й строк матрицы и т.д.
………………………………………………………………………………….
Коэффициент при kr равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 1-й и r-й строк матрицы.
2-е уравнение коррелат.
Коэффициент при k1 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и 1-й строк матрицы.
Коэффициент при k2 равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов 2-й строки матрицы.
Коэффициент при k3 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и 3-й строк матрицы и т.д.
………………………………………………………………………………….
Коэффициент при kj равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и j-й строк матрицы и т.д.
………………………………………………………………………………….
Коэффициент при kr равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 2-й и r-й строк матрицы.
3-е уравнение коррелат.
Коэффициент при k1 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и 1-й строк матрицы.
Коэффициент при k2 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и 2-й строк матрицы.
Коэффициент при k3 равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов 3-й строки матрицы и т.д.
………………………………………………………………………………….
Коэффициент при kj равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и j-й строк матрицы и т.д.
………………………………………………………………………………….
Коэффициент при kr равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов 3-й и r-й строк матрицы.
…………………………………………………………………………………
j-е уравнение коррелат.
Коэффициент при k1 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j-й и 1-й строк матрицы.
Коэффициент при k2 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j-й и 2-й строк матрицы.
Коэффициент при k3 равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов j-й и 3-й строк матрицы и т.д.
………………………………………………………………………………….
Коэффициент при kj равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов j-й строки матрицы.
Коэффициент при kj+1 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j –й и ( j+1)-й строк матрицы и т.д.
………………………………………………………………………………….
Коэффициент при kr равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов j-й и r-й строк матрицы.
r-е уравнение коррелат.
Коэффициент при k1 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r-й и 1-й строк матрицы.
Коэффициент при k2 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r-й и 2-й строк матрицы.
Коэффициент при k3 равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r –й и 3-й строк матрицы и т.д.
………………………………………………………………………………….
Коэффициент при kj равен сумме произведений обратных весов и коэффициентов r-й и j-й строк матрицы и т.д.
………………………………………………………………………………….
Коэффициент при kr равен сумме произведений обратных весов и квадратов коэффициентов r-й строки матрицы.
Указанным образом получают уравнения коррелат вида:
b11k1 + b12k2 + b13k3 + …+ b1jkj + …+ b1rkr + W1 = 0
b21k1 + b22k2 + b23k3 + …+ b2jkj + …+ b2rkr + W2 = 0
b31k1 + b32k2 + b33k3 + …+ b3jkj + …+ b3rkr + W3 = 0
………………………………………………………. (4.24)
bj1k1 + bj2k2 + bj3k3 + …+ bjjkj + …+ bjrkr + Wj = 0
……………………………………………………….
br1k1 + br2k2 + br3k3 + …+ brjkj + …+ brrkr + Wr = 0
Можно заметить, что коэффициенты b с обратными индексами равны между собой, т.е. b12 = b21, b35 = b53 и т.п. Так называемые диагональные коэффициенты bjj представляют собой сумму произведений обратных весов и квадратов коэффициентов а j–й строки, т.е. они всегда положительные. Коэффициенты b с обратными индексами располагаются с разных сторон от диагональной строки. В связи с этим достаточно вычислить диагональные коэффициенты и все коэффициенты, стоящие справа от диагонали. А далее дополнить уравнения недостающими коэффициентами b, записав их такими же, как и коэффициенты с обратными им индексами.
Решение систем линейных уравнений (4.24) выполняется различными способами, но все они весьма громоздкие и требуют значительных затрат времени. Принципы решения таких систем уравнений изложены в разделе 9.
Полученные из решения уравнений (4.24) коррелаты kj используются для вычисления поправок vi по формулам (4.20) или (4.21). После введения поправок в измеренные величины получают уравненные значения измеренных величин (4.7).
При оперировании численными значениями коэффициентов условных уравнений, коррелат, весов (обратных весов) и т.п. необходимо иметь ввиду следующее:
- значения весов и обратных им величин вычислять до 0,01-0,001 единиц;
- значения коэффициентов a, b и коррелат k вычислять до 0,001-0,0001 единиц;
- чаще всего невязки W при обработке плановых построений выражают в дециметрах, в высотных сетях – в миллиметрах, угловые невязки и поправки выражают в секундах, десятых и сотых долях секунды.
Суммируя сказанное выше, приведем последовательность решения задачи уравнивания коррелатным способом.
Шаг 1. Для данного геодезического построения в системе n результатов xi , имеющих веса pi, определяют число k независимых и число r избыточных измерений.
Шаг 2. Составляют математические соотношения (условные уравнения) вида (4.5) с учетом следующих основных требований:
- все условные уравнения должны быть независимыми, т.е. ни одно из них не должно быть следствием другого (других);
- число уравнений должно быть равно числу избыточных измерений r;
- условные уравнения должны иметь возможно простой вид.
Шаг 3. Условные уравнения приводят к линейному виду, для чего выполняют их дифференцирование и находят коэффициенты aij (4.10) как частные производные функций φj по аргументам xi .
Находят свободные члены Wj уравнений, т.е. невязки в полученных уравнениях после подстановки в них измеренных значений xi.
Составляют таблицу (матрицу) коэффициентов aij и обратных весов qi (табл. 4.1).
Шаг 4. Находят коэффициенты bjj (4.23) нормальных уравнений коррелат (4.24) по алгоритму, изложенному выше, и решают полученную систему линейных уравнений одним из способов, рассмотренных далее, либо другим, известным Вам способом.
После получения значений коррелат kj из решения уравнений обязательно необходимо выполнить контроль вычислений. Для этого значения коррелат подставляют в исходные уравнения (4.10) и проверяют выполнение условия. Незначительные отступления от условия уравнения допускаются, они возникают из-за округления результатов вычислений.
Шаг 5. Составляют, пользуясь табл. 4.1, условные уравнения поправок νi (4.15), (4.20) или (4.21). Для значений поправок, например, получим:
ν1 = q1(a11k1 + a12k2 + …+ a1jkj +…+ a1rkr)
ν2 = q2(a21k1 + a22k2 + …+ a2jkj +…+ a2rkr)
ν3 = q3(a31k1 + a32k2 + …+ a3jkj +…+ a3rkr)
………………………………………….. (4.25)
νn = qn(an1k1 + an2k2 + …+ anjkj +…+ anrkr)
Вычисляют поправки к измеренным величинам.
После вычисления поправок необходимо выполнить контроль вычислений. Для этого значения поправок следует подставить в условные уравнения поправок (4.15) и проверить выполнение указанного условия. Незначительные отклонения от указанного условия допускаются, они возникают из-за округления результатов вычислений.
Шаг 6. Вычисляют уравненные значения xi' (4.4).
Контроль уравнивания осуществляют подстановкой xi' в условные уравнения (4.7). При правильном решении задачи все условные уравнения должны иметь указанное решение. Допускаются незначительные отклонения от указанных условий, они возникают из-за округления результатов вычислений.
После выполнения контроля уравнивания значения xi' округляют с необходимой точностью и вычисляют искомые величины (координаты, высоты и т.п.).
Если условные уравнения изначально существенно нелинейны и при разложении в ряд Тейлора, вообще говоря, недостаточно ограничиваться первыми членами разложения, то условия (4.7) могут не выполниться. В этом случае производят второе приближение уравнивания, считая уравненные из первого приближения значения xi' измеренными, а свободными членами Wj – отклонения от нуля в уравнениях (4.7).
Далее будут рассмотрены примеры уравнивания различных геодезических и маркшейдерских построений коррелатным способом.