1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
В.И.Романовский предложил следующий критерий согласия: если
,
(1.149)
то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями следует считать неслучайными; если указанное отношение меньше 3, то расхождение следует считать случайным.
Пример 1.30. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, заданного в табл. 1.4, используя критерий согласия В.И.Романовского, с теоретическими распределениями: 1. равномерным; 2. нормальным; 3. γ-распределением; 4. распределением Шарлье.
Решение.
Воспользуемся результатами вычислений, выполненных в примерах 1.37 – 1.40.
1. Сравнение с равномерным распределением.
> 3.
Ответ: не совпадают.
2. Сравнение с нормальным распределением.
> 3.
Ответ: не совпадают.
3. Сравнение с γ-распределением.
< 3.
Ответ: совпадают.
4. Сравнение с распределением Шарлье.
< 3.
Ответ: совпадают.
1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
При использовании критерия согласия А.Н.Колмогорова рассматривается модуль разности меэжу интегральной статистической функцией F′(x) распределения и интегральной теоретической функцией F(x) распределения.
Предварительно находят величину
,
(1.150)
где
; n
– объем совокупности.
Далее находят разницу
,
(1.151)
которая определяет вероятность того, что за счет чисто случайных величин максимальное расхождение L окажется не меньше, чем наблюдаемое фактически.
При P(λ) < βКР гипотеза отвергается, а при P(λ) ≥ βКР гипотеза принимается, т.е. эмпирическое и теоретическое распределения считают совместимыми.
Для удобства вычисления P(λ) составлены таблицы (см. приложение 9).
Пример 1.31. Выполнить сопоставление эмпирического распределения, заданного в табл. 1.4, используя критерий согласия А.Н.Колмогорова, с теоретическими распределениями: 1) равномерным; 2) нормальным; 3) γ-распределением; 4) распределением Шарлье. Принять βКР = 0,05.
Решение.
По данным таблиц 1.27 – 1.30 составим общую таблицу интегральных функций распределения.
Таблица 1.31
К примеру 1.31 (1)
№№ п/п |
Эмпирическое |
Равномерное |
Нормальное |
γ-распреде-ление |
Распределение Шарлье |
|||||
ri |
F′(x) |
pi |
F1 (x) |
pi |
F2 (x) |
pi |
F3 (x) |
pi |
F4 (x) |
|
1 |
0,20 |
0,20 |
0,085 |
0,085 |
0,11 |
0,11 |
0,21 |
0,21 |
0,13 |
0,13 |
2 |
0,28 |
0,48 |
0,17 |
0,255 |
0,20 |
0,31 |
0,28 |
0,49 |
0,24 |
0,37 |
3 |
0,19 |
0,67 |
0,17 |
0,425 |
0,24 |
0,55 |
0,23 |
0,72 |
0,25 |
0,62 |
4 |
0,14 |
0,81 |
0,17 |
0,595 |
0,20 |
0,75 |
0,16 |
0,88 |
0,17 |
0,79 |
5 |
0,10 |
0,91 |
0,17 |
0,765 |
0,12 |
0,87 |
0,10 |
0,98 |
0,08 |
0,87 |
6 |
0,05 |
0,96 |
0,17 |
0,935 |
0,05 |
0,92 |
0,05 |
1,03 |
0,05 |
0,92 |
7 |
0,05 |
1,01 |
0,085 |
1,02 |
0,02 |
0,94 |
0,03 |
1,06 |
0,03 |
0,95 |
|
1,01 |
|
1,02 |
|
0,94 |
|
1,06 |
|
0,95 |
|
Таблица 1.32
К примеру 1.31 (2)
F′(x) |
0,20 |
0,48 |
0,67 |
0,81 |
0,91 |
0,96 |
1,01 |
λ |
F1 (x) |
0,085 |
0,225 |
0,425 |
0,595 |
0,765 |
0,935 |
1,02 |
|
L1 |
0,115 |
0,225 |
0,245 |
0,215 |
0,145 |
0,025 |
0,01 |
2,19 |
F2 (x) |
0,11 |
0,31 |
0,55 |
0,75 |
0,87 |
0,92 |
0,94 |
|
L2 |
0,09 |
0,17 |
0,12 |
0,06 |
0,04 |
0,04 |
0,07 |
1,52 |
F3 (x) |
0,21 |
0,49 |
0,72 |
0,88 |
0,98 |
1,03 |
1,06 |
|
L3 |
0,01 |
0,01 |
0,05 |
0,07 |
0,07 |
0,07 |
0,05 |
0,63 |
F4 (x) |
0,13 |
0,37 |
0,62 |
0,79 |
0,87 |
0,92 |
0,95 |
|
L4 |
0,07 |
0,11 |
0,05 |
0,02 |
0,04 |
0,04 |
0,06 |
0,98 |
В таблице 1.32 жирным шрифтом выделены максимальные значения разностей L и значения вычисленных по формуле (1.150) показателей λ.
Пользуясь таблицей приложения 9 по значениям λ найдем соответствующие вероятности:
1. Сопоставление с равномерным распределением: P(λ) = 0,0001 (< βКР = 0,05).
Ответ: не соответствует.
2. Сопоставление с нормальным распределением: P(λ) = 0,0212 (< βКР = 0,05).
Ответ: не соответствует.
3. Сопоставление с γ-распределением: P(λ) = 0,8209 (> βКР = 0,05).
Ответ: соответствует.
4. Сопоставление с распределением Шарлье: P(λ) = 0,3582 (> βКР = 0,05).
Ответ: соответствует.