- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
Порядок обработки результатов равноточных измерений следующий (табл. 3.1).
Вычислить среднее арифметическое хо по формуле (3.6);
Получить ряд уклонений результатов измерений от среднего арифметического по формуле (3.8);
Проконтролировать сумму уклонений.
Сумма уклонений результатов измерений от среднего арифметического должна быть равна нулю, т.е. [v] = 0. В значении среднего арифметического для начальной обработки следует оставлять после запятой на один знак больше, чем в результатах измерений. При этом, из-за возможного округления среднего арифметического, сумма уклонений может незначительно отличаться от нуля.
Составить ряд квадратов уклонений v2 и получить сумму квадратов уклонений [v2];
Вычислить среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле (3.10);
Вычислить среднюю квадратическую погрешность средней квадратической погрешности по формуле (3.11);
Таблица 3.1
Пример 3.4. Обработка ряда равноточных измерений одной величины
№№ п/п |
Результат измерения хi |
Уклонение ui*10-3
|
Квадрат уклонения ui2 *10-6 |
№№ п/п |
Результат измерения хi |
Уклонение uI *10-3 |
Квадрат уклонения ui2 *10-6 |
1 |
83,668 |
+6,1 |
37,21 |
21 |
83,666 |
+4,1 |
16,81 |
2 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
22 |
83,664 |
+2,1 |
4,41 |
3 |
83,656 |
-5,9 |
34,81 |
23 |
83,657 |
-4,9 |
24,01 |
4 |
83,664 |
+2,1 |
4,41 |
24 |
83,660 |
-1,9 |
3,61 |
5 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
25 |
83,669 |
+7,1 |
50,41 |
6 |
83,672 |
+10,1 |
102,01 |
26 |
83,665 |
+3,1 |
9,61 |
7 |
83,661 |
-0,9 |
0,81 |
27 |
83,660 |
-1,9 |
3,61 |
8 |
83,656 |
-5,9 |
34,81 |
28 |
83,655 |
-6,9 |
47,61 |
9 |
83,666 |
+4,1 |
16,81 |
29 |
83,665 |
+3,1 |
9,61 |
10 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
30 |
83,661 |
-0,9 |
0,81 |
11 |
83,658 |
-3,9 |
15,21 |
31 |
83,669 |
+7,1 |
50,41 |
12 |
83,654 |
-7,9 |
62,41 |
32 |
83,656 |
-5,9 |
34,81 |
13 |
83,669 |
+7,1 |
50,41 |
33 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
14 |
83,667 |
+5,1 |
26,01 |
34 |
83,664 |
+2,1 |
4,41 |
15 |
83,659 |
-2,9 |
8,41 |
35 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
16 |
83,663 |
+1,1 |
1,21 |
36 |
83,669 |
+7,1 |
50,41 |
17 |
83,659 |
-2,9 |
8,41 |
37 |
83,658 |
-3,9 |
15,21 |
18 |
83,657 |
-4,9 |
24,01 |
38 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
19 |
83,662 |
+0,1 |
0,01 |
39 |
83,659 |
-2,9 |
8,41 |
20 |
83,653 |
-8,9 |
79,21 |
40 |
83,663 |
+1,1 |
1,21 |
хо = 83,6619 [v] = 0 [v2] =841,60х10-6
Вычислить среднюю квадратическую погрешность среднего арифмети-ческого по формуле (3.18);
Произвести округление результатов в соответствии со значением средней квадратической погрешности среднего арифметического и записать окончательное значение измеренной величины с ее доверительным интервалом (для заданной доверительной вероятности).
В табл. 3.1 приведен пример обработки результатов измерений линии, измеренной на местности рулеткой с миллиметровыми делениями.
Средняя квадратическая погрешность одного измерения: m = 0,004645 м.
Средняя квадратическая погрешность средней квадратической погрешности одного измерения: mm= 0,000519 м.
Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического: М = 0,00073 м.
На основании значения mm величину m можно округлить до m = 0,005 м.
Значение среднего арифметического округлять здесь не следует, поскольку разряд округления и значение погрешности среднего арифметического (М = 0,0007 м) – одного порядка.
С учетом данных табл. 3.1 можно записать значение измеренной величины в виде доверительного интервала ±tM с заданной вероятностью Р:
Х(Р=68,3%) = (83,6619 ± 0,0007) м
Х(Р=95,5%) = (83,6619 ± 0,0014) м
Х(Р=99,7%) = (83,6619 ± 0,0021) м
Запись, например, для Х(Р=95,5%) расшифровывается так: с вероятностью 95,5% величина Х находится в интервале 83,6612 м < Х < 83,6626 м .
Проконтролируем ряд значений хi , приведенный в табл. 2.2, на соответствие нормальному закону распределения. Найдем для этого число измерений, которые находятся в пределах ±m, ±2m и ±3m, т.е. в пределах (83,662±0,005) м, (83,662±0,010) м и (83,662±0,015) м, получим:
n(t=1) = 28, n(t=2) = 40, n(t=3) – нет.
Отношение n(t=1) к общему числу измерений n = 40 равно 70%, что примерно соответствует вероятности Р = 68,3% для нормального закона распределения. Отклонение объясняется ограниченным числом измерений.