
- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
На местности между исходными линиями АВ, CD, FE проложена система полигонометрических ходов (рис. 4.10) с одной узловой точкой М: В-N-M; D-1-M; F-3-2-M. На схеме указано направление движения в полигонометрических ходах.
Координаты исходных пунктов В, D и F приведены в табл. 4.18, значения исходных дирекционных углов – в табл. 4.19, измеренных горизонтальных углов и расстояний – в табл. 4.20.
Средняя квадратическая погрешность измерения горизонтальных углов mβ = 2,0" (измерения углов равноточные). Относительная погрешность измерения расстояний составила ms(отн) 1:120000. Используя формулу
,
(4.159)
получим абсолютные средние квадратические погрешности измерения линий: ms1 = =21 мм; ms2 = 25 мм; ms3 = 16 мм; ms4 = 21 мм; ms5 = 14 мм; ms6 = 17 мм; ms7 = 13 мм.
Значения весов pi и обратных весов qi измеренных величин в соответствии с принятой их нумерацией приведены в табл. 4.21. Значения весов получены по формулам (3.5).
Рис. 4.10. Схема полигонометрических ходов с одной узловой точкой
Таблица 4.18
Координаты исходных пунктов
-
Пункт
X, м
Y, м
В
8716,883
896,751
D
8941,804
6805,567
F
1207,063
3320,677
Таблица 4.19
Значения исходных дирекционных углов
-
Линия
α
Значение угла
α
Значение угла
АВ
α АВ
89о31' 14,7''
α BA
269 о31' 14,7''
CD
α CD
327 о04' 59,2''
α DC
147 о04' 59,2''
EF
α EF
243 о25' 05,9''
α FE
63 о25' 05,9''
Таблица 4.20
Значения измеренных углов и расстояний
№№ точек |
β i |
Значение угла |
si |
Значение расстояния, м |
F |
β 1 |
249 о13' 24,8'' |
s1 |
2493,846 |
3 |
β 2 |
253 о06' 07,7'' |
s2 |
3004,255 |
2 |
β 3 |
214 о25' 11,4'' |
s3 |
1875,063 |
M |
β 4 |
69 о36' 08,8'' |
s4 |
2500,681 |
N |
β 5 |
160 о14' 00,5'' |
s5 |
1701,242 |
B |
β 6 |
159 о31' 10,3'' |
|
|
|
|
|
|
|
M |
β 9 |
77 о42'13,6'' |
s7 |
1505,218 |
1 |
β 8 |
210 о13' 16,4'' |
s6 |
2003,754 |
D |
β 7 |
269 о23' 24,8'' |
|
|
Таблица 4.21
Значения весов и обратных весов измеренных величин
№ измеренной величины |
Обозначение измеренной величины |
Вес pi |
Обратный вес qi |
1 |
β 1 |
1 |
1 |
2 |
β 2 |
1 |
1 |
3 |
β 3 |
1 |
1 |
4 |
β 4 |
1 |
1 |
5 |
β 5 |
1 |
1 |
6 |
β 6 |
1 |
1 |
7 |
β 7 |
1 |
1 |
8 |
β 8 |
1 |
1 |
9 |
β 9 |
1 |
1 |
10 |
s1 |
0,907 |
1,102 |
11 |
s2 |
0,640 |
1,562 |
12 |
s3 |
1,563 |
0,640 |
13 |
s4 |
0,907 |
1,102 |
14 |
s5 |
2,041 |
0,490 |
15 |
s6 |
1,384 |
0,722 |
16 |
s7 |
2,367 |
0,422 |
Требуется найти уравненные значения координат точек 1, 2, 3, N, узловой точки М и уравненное значение дирекционного угла линии MN.
Решение.
В каждом из полигонометрических ходов (ход (1) : F-3-2-M-N-B; ход (2): F-3-2-M-1-D), как и в примере 4.6.3, возникает по три условия: одно – для дирекционных углов; два – абсцисс и ординат.
Выполним предварительные вычисления в полигонометрических ходах (табл. 4.22).
Шаг 1. Общее число измерений n = 16, число необходимых измерений k = =10, число избыточных измерений r = 6.
Шаг 2. Составим условные уравнения для ходов (1) и (2):
- условие дирекционных углов:
(4.160)
- условие координат (для абсцисс):
(4.161)
- условие координат (для ординат):
(4.162)
Шаг 3. Приведем условные уравнения к линейному виду (подробные пояснения даны в примере 4.6.3). Получим условные уравнения поправок вида:
Таблица 4.22
Предварительные вычисления в системе полигонометрических ходов с одной узловой точкой
№№ точек |
Гориз.углы β |
Дирекц.углы α |
Рассто-яния s , м |
Приращения координат, м |
Координаты, м |
№№ точек |
||
Δx |
Δy |
X |
Y |
|||||
E |
|
|
|
Ход (1) |
|
|
|
|
243о 25' 05,9" |
|
|
|
|||||
F |
249 о 13' 24,8''
|
1207,083 |
3320,677 |
F |
||||
312о 38' 30,7" |
2493,846 |
+1689,365 |
-1834,479 |
|||||
3 |
253 о 06' 07,7''
|
2806,448 |
1486,198 |
3 |
||||
25о 44' 38,4" |
3004,255 |
+2706,064 |
+1304,901 |
|||||
2 |
214 о 25' 11,4''
|
5602,512 |
2791,099 |
2 |
||||
60о 09' 49,8" |
1875,063 |
+932,884 |
+1626,526 |
|||||
M |
69 о 36' 08,8'' |
6535,396 |
4417,625 |
M |
||||
309о 45' 58,6" |
2500,681 |
+1599,579 |
-1922,174 |
|||||
N |
160 о 14' 00,5'' |
8134,975 |
2495,451 |
N |
||||
289о 59' 59,1" |
1701,242 |
+581,852 |
-1598,647 |
|||||
B |
159 о 31' 10,3'' |
8716,827 |
896,804 |
Bo |
||||
269о 31' 09,4" (269о 31' 14,7") |
|
|
|
|||||
A |
|
8716,883 |
896,751 |
В |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ход (2) |
|
|||||
E |
|
|
|
|
||||
243о 25' 05,9" |
|
|
|
|||||
F |
253 о 06' 07,7''
|
1207,083 |
3320,677 |
F |
||||
312о 38' 30,7" |
2493,846 |
+1689,365 |
-1834,479 |
|||||
3 |
214 о 25' 11,4''
|
2806,448 |
1486,198 |
3 |
||||
25о 44' 38,4" |
3004,255 |
+2706,064 |
+1304,901 |
|||||
2 |
69 о 36' 08,8'' |
5602,512 |
2791,099 |
2 |
||||
60о 09' 49,8" |
1875,063 |
+932,884 |
+1626,526 |
|||||
M |
147о 18' 22,4'' |
6535,396 |
4417,625 |
M |
||||
27о 28' 12,2" |
1505,218 |
+1335,508 |
+694,334 |
|||||
1 |
207 о 28' 12,2''
|
7870,904 |
5111,959 |
1 |
||||
57о 41' 28,6" |
2003,754 |
+1070,968 |
+1693,534 |
|||||
D |
269 о 23' 24,8''
|
8941,872 8941,804 |
6805,493 6805,567 |
Do D |
||||
147о 04' 53,4" (147о04'59,2") |
|
|
|
|||||
C |
|
|
|
|
(4.163)
Вычислим значения невязок (свободных членов уравнений). Для этого подставим в формулы (4.160) – (4.162) значения измеренных величин, а также результаты предварительных вычислений. Получим:
(4.164)
Здесь n(1) = 6, n(2) = 6 (с учетом суммирования углов в точке поворота М).
Приведем уравнения поправок в развернутом виде:
(4.165)
Составим по данным табл. 4.22 таблицу значений sin и cos дирекционных углов и разностей координат (xno – xio) и (yno – yio), необходимых для определения коэффициентов уравнений поправок.
Составим окончательные выражения уравнений поправок с учетом данных табл. 4.23 и значений свободных членов:
Таблица 4.23
Значения разностей координат (км) и функций sin и cos дирекционных углов
№№ точек |
Значение дирекционного угла |
|
км |
км |
F |
|
|
|
|
312о 38' 30,7'' |
+0,6774 |
+7,5097 |
-2,4239 |
|
3 |
-0,7356 |
|||
25 о 44' 38,4'' |
+0,9007 |
+5,8204 |
-0,5894 |
|
2 |
+0,4344 |
|||
60 о09'49,8'' |
+0,4975 |
+3,1143 |
-1,8943 |
|
M |
+0,8675 |
|||
309 о45' 58,6'' |
+0,6397 |
+2,1814 |
-3,5208 |
|
N |
-0,7687 |
|||
289 о59' 59,1'' |
+0,3420 |
+0,5819 |
-1,5986 |
|
B |
-0,9397 |
|||
|
|
|
|
|
F |
|
|
||
312 о 38' 30,7'' |
+0,6774 |
+7,7348 |
+3,4848 |
|
3 |
-0,7356 |
|||
25 о 44' 38,4'' |
+0,9007 |
+6,0454 |
+5,3193 |
|
2 |
+0,4344 |
|||
60 о 09' 49,8'' |
+0,4975 |
+3,3394 |
+4,0144 |
|
M |
+0,8675 |
|||
27 о 28' 12,2'' |
+0,8873 |
+2,4065 |
+2,3878 |
|
1 |
+0,4613 |
|||
57 о 41' 28,6'' |
+0,5345 |
+1,0710 |
+1,6935 |
|
D |
+0,8452 |
|||
|
|
|
|
(4.166)
Составим матрицу (таблицу) коэффициентов и обратных весов уравнений поправок (табл. 4.24).
Таблица 4.24
Значения коэффициентов уравнений поправок и обратных весов измеренных величин
i→ j↓ |
1 β1 |
2 β2 |
3 β3 |
4 β4 |
5 β5 |
6 β6 |
7 β7 |
8 β8 |
9 β9 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
3 |
+1,1752 |
+0,2857 |
+0,9184 |
+1,7069 |
+0,7750 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
-1,6895 |
-2,5788 |
-1,9462 |
-1,1576 |
0 |
0 |
0 |
-0,8210 |
-1,1576 |
5 |
+3,6408 |
+2,8218 |
+1,5098 |
+1,0576 |
+0,2821 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
+3,7499 |
+2,9309 |
+1,6190 |
+1,1667 |
0 |
0 |
0 |
+0,5192 |
+1,1667 |
qi |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Таблица 4.24 (продолжение)
i→ j↓ |
10 s1 |
11 s2 |
12 s3 |
13 s4 |
14 s5 |
15 s6 |
16 s7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0,6774 |
0,9007 |
0,4975 |
0,6397 |
0,3420 |
0 |
0 |
4 |
0,6774 |
0,9007 |
0,4975 |
0 |
0 |
0,5345 |
0,8873 |
5 |
-0,7356 |
0,4344 |
0,8675 |
-0,7687 |
-0,9397 |
0 |
0 |
6 |
-0,7356 |
0,4344 |
0,8675 |
0 |
0 |
0,8452 |
0,4613 |
qi |
1,102 |
1,562 |
0,640 |
1,102 |
0,490 |
0,722 |
0,422 |
Шаг 4. Составим и решим нормальные уравнения коррелат. Принцип составления нормальных уравнений коррелат приведен в разделе 4.2, способ решения системы линейных уравнений приведен в разделе 4.4.
6k1 + 4 k2 + 4,8611 k3 – 7,3721 k4 + 9,3121 k5 + 9,4665 k6 – 5,3 = 0;
4 k1 + 7 k2 + 4,0861 k3 – 9,3507 k4 + 9,0300 k5 + 11,1494 k6 – 5,8 = 0;
4,8611 k1 + 4,0861 k2 + 8,2596 k3 – 4,5541 k4 + 8,1330 k5 + 9,0604 k6 – 5,6 = 0;
-7,3721 k1 – 9,3507 k2 – 4,5541 k3 + 19,1162 k4 – 17,2466 k5 – 19,3348 k6 + 6,8 = 0;
9,3121 k1 + 9,0300 k2 + 8,1330 k3 – 17,2466 k4 + 27,1521 k5 + 26,9740 k6 + 5,3 = 0;
9,4665 k1 + 11,1494 k2 + 9,0604 k3 – 19,3348 k4 + 26,9740 k5 + 30,2433 k6 – 7,4 = 0.
(4.167)
Из решения системы линейных уравнений получаем:
k1 = +2,5830; k2 = -0,9683; k3 = -0,1358; k4 = -0,0966; k5 = -4,8556; k6 = +4,1088.
Контрольная подстановка в исходные уравнения (4.167) показывает выполнение указанных условий.
Шаг 5. Вычисление значений поправок в измеренные величины.
В соответствии с правилами составления уравнений поправок для их вычисления получим:
Контрольная подстановка полученных значений поправок в исходные уравнения (4.166) показала выполнение указанных условий.
Шаг 6. Вычисление уравненных значений углов и расстояний и вычисление уравненных значений координат точек и дирекционного угла узловой линии.
Здесь не будем приводить отдельно значения уравненных углов и расстояний, а запишем их величины непосредственно в таблицу уравнивания (табл. 4.25), по форме идентичную таблице предварительных вычислений (табл. 4.22).
Таблица 4.25
Контрольные вычисления в системе полигонометрических ходов с одной узловой точкой
№№ точек |
Гориз.углы β |
Дирекц.углы α |
Рассто-яния s , м |
Приращения координат, м |
Координаты, м |
№№ точек |
||
Δx |
Δy |
X |
Y |
|||||
E |
|
|
|
Ход (1) |
|
|
|
|
243о 25' 05,9" |
|
|
|
|||||
F |
249 о 13' 24,1''
|
1207,083 |
3320,677 |
F |
||||
312о 38' 30,0" |
2493,850 |
+1689,362 |
-1834,488 |
|||||
3 |
253 о 06' 07,9''
|
2806,445 |
1486,189 |
3 |
||||
25о 44' 37,9" |
3004,247 |
+2706,060 |
+1304,891 |
|||||
2 |
214 о 25' 12,4''
|
5602,505 |
2791,080 |
2 |
||||
60о 09' 50,3" |
1875,058 |
+932,878 |
+1626,524 |
|||||
M |
69 о 36' 09,9'' |
6535,383 |
4417,604 |
M |
||||
309о 46' 00,2" |
2500,721 |
+1599,620 |
-1922,192 |
|||||
N |
160 о 14' 01,6'' |
8135,003 |
2495,412 |
N |
||||
290о 00' 01,8" |
1701,264 |
+581,881 |
-1598,660 |
|||||
B |
159 о 31' 12,9'' |
8716,884 |
896,752 |
Bo |
||||
269о 31' 14,7" (269о 31' 14,7") |
|
|
|
|||||
A |
|
8716,883 |
896,751 |
В |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ход (2) |
|
|||||
E |
|
|
|
|
||||
243о 25' 05,9" |
|
|
|
|||||
F |
249 о 13' 24,1''
|
1207,083 |
3320,677 |
F |
||||
312о 38' 30,0" |
2493,850 |
+1689,362 |
-1834,488 |
|||||
3 |
253 о 06' 07,9''
|
2806,445 |
1486,189 |
3 |
||||
25о 44' 37,9" |
3004,247 |
+2706,060 |
+1304,891 |
|||||
2 |
214 о 25' 12,4''
|
5602,505 |
2791,080 |
2 |
||||
60о 09' 50,3" |
1875,058 |
+932,878 |
+1626,524 |
|||||
M |
147о 18' 27,5'' |
6535,383 |
4417,604 |
M |
||||
27о 28' 17,8" |
1505,243 |
+1335,511 |
+694,382 |
|||||
1 |
210 о 13' 17,6''
|
7870,894 |
5111,986 |
1 |
||||
57о 41' 35,4" |
2003,762 |
+1070,921 |
+1693,583 |
|||||
D |
269 о 23' 23,8''
|
8941,815 8941,804 |
6805,569 6805,567 |
Do D |
||||
147о 04' 59,2" (147о04'59,2") |
|
|
|
|||||
C |
|
|
|
|
Как видно из табл. 4.25 и результатов проверки правильности вычисления поправок в измеренные углы, остаточных невязок в уравнениях, составленных по условиям дирекционных углов, нет. Остаточные невязки в координатах: W3= 8716,884 – 8716,883 = + 1 мм; W4 = 896,752 – 896,751 = + 1 мм; W5 = 8941,815 –
-8941,804 = = + 11 мм; W6 = 6805,569 – 6805,567 = + 2 мм, что является вполне удовлетворительным. Небольшие отступления здесь определяются только ошибками округлений.
Задача решена!