
- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
1.1.4. Вероятность события
Вероятность события характеризуется качественной мерой степени объективной возможности появления события при данном опыте. Для каждого из событий указанная качественная мера при многократных испытаниях проявляет устойчивость или ту или иную закономерность.
Предположим, что при n испытаниях какое-либо событие i появилось k раз. Относительная величина
(1.1)
характеризует
относительную частоту (или частость)
появления события i;
при этом
характеризует
полную группу событий; k
– частота появления события.
Параметр ri принимает значения от нуля до единицы:
.
(1.2)
При неограниченном числе испытаний (на практике – понятие абстрактное) вероятность p определяется отношением числа Ki благоприятствующих элементарных исходов к общему числу N возможных элементарных исходов:
.
(1.3)
Если вероятность какого-либо события близка к единице, то такое событие называют достоверным. Если же вероятность события близка к нулю, то такое событие называют невозможным. В пределе вероятность достоверного события
,
(1.4)
а вероятность недостоверного (невозможного) события
.
(1.5)
Вероятность, как и относительная частота, всегда положительное число:
0 < р < 1 , (1.6)
а вероятность любого события i удовлетворяет неравенству
,
(1.7)
при этом сумма
.
(1.8)
Далее условимся обозначать вероятность случайной величины прописными буквами Р(Х), Р(Y), Р(Z) и т.д., а вероятность отдельного измерения – строчными буквами: рi, p(x)i , p(y)i и т.п.
1.2. Вариационные ряды
Любой объект наблюдений характеризуется теми или иными качественными признаками. Например, месторождение полезного ископаемого характеризуется несколькими качественными признаками, в частности, распределением содержания по площади (объему), распределением мощности залежи, вертикального запаса и т.п. Количество полученных при измерениях показателей одного из признаков образует статистическую совокупность или статистический коллектив. Значения показателей х1 , х2 , … , хn называют вариантами, а все поле значений показателя – вариационным рядом. Число n всех элементов вариационного ряда называют объемом совокупности.
Поскольку каждый из элементов хi вариационного ряда имеет свою частоту ki появления (или относительную частоту ri), то расположив, например, значения хi в возрастающем порядке [xi ; ki] или [xi ; ri], получим т.н. упорядоченный вариационный ряд, характеризующий распределение признака.
Для исследования распределения признака упорядоченные вариационные ряды представляют в виде интервального ряда группировкой отдельных последовательных элементов в ограниченном интервале непрерывно по всему ряду. В этом случае элементом интервального вариационного ряда является среднее значение хОi признака в интервале с указанием частоты kOi (количества элементов в интервале) или с указанием относительной частоты (частости) rOi : [xOi ; kOi] или [xOi ; rOi]. Каждый из интервалов i называют классом.
Очевидно, что разбивка упорядоченного вариационного ряда на большое число классов (интервалов) может привести к потере информации о распределении признака, поскольку могут появиться «пустые» интервалы из-за ограниченного числа испытаний. При малом числе классов распределение признака может оказаться малоинформативным или недостаточным для установления вида распределения.
Оптимальное число классов, на которое разбивается тот или иной упорядоченный вариационный ряд, на практике определяется по нескольким соотношениям, в том числе и исходя из опыта исследователя. Часто число классов К определяется по формулам Стерджесса:
;
, (1.9)
по формуле Хайнхольда и Гаеде
,
(1.10)
по формуле Брукса и Каррузера
.
(1.11)
На практике часто используют для оценки числа классов следующее выражение:
.
(1.12)
После определения числа классов окончательное их число рекомендуют выбирать нечетным. Более это важно при небольших числах классов: 5 – 7.
Ширину классового интервала h вычисляют после оценки и назначения числа классов по формуле
,
(1.13)
где хmax и хmin – соответственно максимальное и минимальное значения элементов упорядоченного вариационного ряда.
Часто, при весьма неравномерных распределениях, исследуют распределение вариационных рядов, составленных не фактическими значениями признака, а, например, логарифмами этих значений. В этом случае для определения ширины классового интервала также используется формула (1.13), но для максимального и минимального логарифмов значений признака. В таких случаях, в отличие от использования формулы (1.13), ширина классового интервала в фактических единицах получается различной в зависимости от величины признака: чем больше значение признака, тем шире классовый интервал в фактических его единицах измерения.
Рассмотрим пример разбивки вариационного ряда на классы с использованием приведенных формул.
Пример 1.1. На площади выполнена разведка месторождения полезного ископаемого буровым способом на содержание С(г/м3) полезного компонента по 80 разведочным скважинам (см. табл. 1.1). Максимальное значение содержания Сmax = 886 г/м3, минимальное значение содержания Сmin = 64 г/м3.
Определить и назначить число классов К и вычислить ширину h классового интервала.
Решение.
Найдем (оценим) число классов упорядоченного вариационного ряда:
- по формуле Стерджесса (1): К = 1 + 3,2 lg80 = 7,09;
- по формуле Стерджесса (2): К = 1 + log280 = 7,32;
-
по формуле Хайнхольда и Гаеде: К
=
=
8,94;
- по формуле Брукса и Каррузера: К = 5lg80 = 9,52;
- по формуле (1.12): 0,55 · 800,4 = 3,17; 1,25 · 800,4 = 7,21; (от 4-х до 8-ми).
Как видим, в большинстве случаев получаются практически одинаковые рекомендации для данного объема совокупности (n = 80). Исключение, пожалуй, составляет использование формулы (1.12), по которой в среднем получается рекомендация по разбивке на 5 или 6 классов.
Построим упорядоченный вариационный ряд (табл. 1.2) и разобьем его на классы.
Для примера обработки вариационных рядов, с целью сопоставления различных вариантов разбивки, назначена разбивка приведенного вариационного ряда на 6, 7 и 8 классов, что отражено в табл. 1.2.
Таблица 1.1
Данные разведки на содержание
№№ разв.линий №№ разв.свкажин |
РЛ№1 |
РЛ№2 |
РЛ№3 |
РЛ№4 |
РЛ№5 |
РЛ№6 |
РЛ№7 |
РЛ№8 |
1 |
121 |
116 |
168 |
155 |
138 |
64 |
72 |
136 |
2 |
251 |
256 |
261 |
285 |
258 |
264 |
272 |
226 |
3 |
231 |
383 |
268 |
213 |
416 |
487 |
307 |
243 |
4 |
368 |
438 |
326 |
356 |
379 |
371 |
736 |
511 |
5 |
400 |
309 |
456 |
588 |
690 |
652 |
388 |
441 |
6 |
105 |
376 |
565 |
405 |
563 |
781 |
291 |
393 |
7 |
83 |
240 |
538 |
675 |
886 |
578 |
342 |
468 |
8 |
|
151 |
433 |
775 |
621 |
848 |
273 |
385 |
9 |
|
147 |
264 |
633 |
437 |
524 |
172 |
238 |
10 |
|
|
186 |
473 |
547 |
217 |
157 |
106 |
11 |
|
|
136 |
283 |
238 |
|
|
|
12 |
|
|
|
211 |
|
|
|
|
Число скважин Всего n = 80 |
7 |
9 |
11 |
12 |
11 |
10 |
10 |
10 |
По формуле (1.13) найдем ширину классового интервала для каждой из разбивок с округлением до целой единицы:
h(6) = (886 – 64) : 6 = 137 г/м3;
h(7) = (886 – 64) : 6 = 117,43 = 117 г/м3;
h(8) = (886 – 64) : 6 = 102,75 = 103 г/м3.
Минимальную
границу 1-го класса рекомендуют
устанавливать по значению (
)
либо за минимальную границу 1-го класса
принимать xmin.
Воспользуемся второй рекомендацией.
Для определения границ классовых интервалов необходимо выполнить вычисление в указанной последовательности:
;
;
(1.14)
;
и т.д.
Средние значения для интервалов определяют по фомулам:
;
;
(1.15)
и т.д.
Результаты вычислений представлены в табл. 1.2. Для каждого из классов указаны средние значения параметра в классе и частота, соотвествующая этому классу.
В табл. 1.3, 1.4 и 1.5 приведена выборка данных из табл. 1.2 с дополнительными данными по величинам относительных частот (частостей) r. В такой форме чаще всего и задают интервальные вариационные ряды.
В приведенных таблицах верхние границы интервалов определены последовательно с шагом h. Нижние границы интервалов на единицу меньше. В пределах значащей цифры в данном случае, при сравнительно больших значениях параметра, такое округление результатов допустимо.
Таблица 1.2
Разбивка на классы упорядоченного вариационного ряда
№№ п/п |
Упорядоченный вариационный ряд, С (г/м3) |
Разбивка на 6 классов |
Упорядоченный вариационный ряд, С (г/м3) |
Разбивка на 7 классов |
Упорядоченный вариационный ряд, С (г/м3) |
Разбивка на 8 классов |
1 |
64 |
132 17 |
64 |
122 16 |
64 |
116 14 |
2 |
72 |
72 |
72 |
|||
3 |
83 |
83 |
83 |
|||
4 |
105 |
105 |
105 |
|||
5 |
106 |
106 |
106 |
|||
6 |
116 |
116 |
116 |
|||
7 |
121 |
121 |
121 |
|||
8 |
136 |
136 |
136 |
|||
9 |
136 |
136 |
136 |
|||
10 |
138 |
138 |
138 |
|||
11 |
147 |
147 |
147 |
|||
12 |
151 |
151 |
151 |
|||
13 |
155 |
155 |
155 |
|||
14 |
157 |
157 |
157 |
|||
15 |
168 |
168 |
168 |
219 19 |
||
16 |
172 |
172 |
172 |
|||
17 |
186 |
186 |
239 22 |
186 |
||
18 |
211 |
269 24 |
211 |
211 |
||
19 |
213 |
213 |
213 |
|||
20 |
217 |
217 |
217 |
|||
21 |
226 |
226 |
226 |
|||
22 |
231 |
231 |
231 |
|||
23 |
238 |
238 |
238 |
|||
24 |
238 |
238 |
238 |
|||
25 |
240 |
240 |
240 |
|||
26 |
243 |
243 |
243 |
|||
27 |
251 |
251 |
251 |
|||
28 |
256 |
256 |
256 |
|||
29 |
258 |
258 |
258 |
|||
30 |
261 |
261 |
261 |
|||
31 |
264 |
264 |
264 |
|||
32 |
264 |
264 |
264 |
|||
33 |
268 |
268 |
268 |
|||
34 |
272 |
272 |
272 |
322 12 |
||
35 |
273 |
273 |
273 |
|||
36 |
283 |
283 |
283 |
|||
37 |
285 |
285 |
285 |
|||
38 |
291 |
291 |
291 |
|||
39 |
307 |
307 |
356 16 |
307 |
||
40 |
309 |
309 |
309 |
|||
41 |
326 |
326 |
326 |
|||
42 |
342 |
406 20 |
342 |
342 |
||
43 |
356 |
356 |
356 |
|||
44 |
368 |
368 |
368 |
|||
45 |
371 |
371 |
371 |
|||
46 |
376 |
376 |
376 |
425 16 |
||
47 |
379 |
379 |
379 |
|||
48 |
383 |
383 |
383 |
|||
49 |
385 |
385 |
385 |
|||
50 |
388 |
388 |
388 |
|||
51 |
393 |
393 |
393 |
|||
52 |
400 |
400 |
400 |
|||
53 |
405 |
405 |
405 |
|||
54 |
416 |
416 |
416 |
|||
55 |
433 |
433 |
473 10 |
433 |
||
56 |
437 |
437 |
437 |
|||
57 |
438 |
438 |
438 |
|||
58 |
441 |
441 |
441 |
|||
59 |
456 |
456 |
456 |
|||
60 |
468 |
468 |
468 |
|||
61 |
473 |
473 |
473 |
|||
62 |
487 |
543 9 |
487 |
487 |
528 8 |
|
63 |
511 |
511 |
511 |
|||
64 |
524 |
524 |
524 |
|||
65 |
538 |
538 |
590 9 |
538 |
||
66 |
547 |
547 |
547 |
|||
67 |
563 |
563 |
563 |
|||
68 |
565 |
565 |
565 |
|||
69 |
578 |
578 |
578 |
|||
70 |
588 |
588 |
588 |
631 5 |
||
71 |
621 |
680 6 |
621 |
621 |
||
72 |
633 |
633 |
633 |
|||
73 |
652 |
652 |
652 |
|||
74 |
675 |
675 |
707 3 |
675 |
||
75 |
690 |
690 |
690 |
734 4 |
||
76 |
736 |
736 |
736 |
|||
77 |
775 |
817 4 |
775 |
824 4 |
775 |
|
78 |
781 |
781 |
781 |
|||
79 |
848 |
848 |
848 |
837 2 |
||
80 |
886 |
886 |
886 |
Примечание к табл. 1.2: в таблице для удобства выделены нечетные номера классов.
Таблица 1.3
Характеристика интервального ряда (К = 6 классов)
№№ интервалов |
Интервал содержания в классе, С (г/м3) |
Cреднее значение содержания в интервале, С (г/м3) |
Количество элементов в интервале (частота), k |
Относительная частота (частость), r |
1 |
64 – 201 |
132 |
17 |
0,21 |
2 |
202 – 338 |
269 |
24 |
0,30 |
3 |
339 – 475 |
406 |
20 |
0,25 |
4 |
476 – 612 |
543 |
9 |
0,11 |
5 |
613 – 749 |
680 |
6 |
0,08 |
6 |
750 – 886 |
817 |
4 |
0,05 |
|
|
|
80 |
1,00 |
Таблица 1.4
Характеристика интервального ряда (К = 7 классов)
№№ интервалов |
Интервал содержания в классе, С (г/м3) |
Cреднее значение содержания в интервале, С (г/м3) |
Количество элементов в интервале (частота), k |
Относительная частота (частость), r |
1 |
64 – 181 |
122 |
16 |
0,20 |
2 |
182 – 298 |
239 |
22 |
0,28 |
3 |
299 – 415 |
356 |
15 |
0,19 |
4 |
416 – 532 |
473 |
11 |
0,14 |
5 |
533 – 649 |
590 |
8 |
0,10 |
6 |
650 – 766 |
707 |
4 |
0,05 |
7 |
767 – 883 |
824 |
4 |
0,05 |
|
|
|
80 |
1,01 |
Примечание к табл. 1.4: в таблице сумма частостей не получилась равной единице из-за округлений.
Таблица 1.5
Характеристика интервального ряда (К = 8 классов)
№№ интервалов |
Интервал содержания в классе, С (г/м3) |
Cреднее значение содержания в интервале, С (г/м3) |
Количество элементов в интервале (частота), k |
Относительная частота (частость), r |
1 |
64 – 167 |
116 |
14 |
0,18 |
2 |
168 – 270 |
219 |
19 |
0,24 |
3 |
271 – 373 |
322 |
12 |
0,15 |
4 |
374 – 476 |
425 |
16 |
0,20 |
5 |
477 – 579 |
528 |
8 |
0,10 |
6 |
580 – 682 |
631 |
5 |
0,06 |
7 |
683 – 785 |
734 |
4 |
0,05 |
8 |
786 - 888 |
837 |
2 |
0,02 |
|
|
|
80 |
1,00 |