
- •Введение
- •Глава 1. Случайная величина. Законы распределения случайных величин
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.1.1. Виды измерений
- •1.1.2. Единицы измерений, используемые в маркшейдерском деле
- •1.1.3. Случайная величина
- •1.1.4. Вероятность события
- •1.2. Вариационные ряды
- •1.3. Характеристики вариационных рядов
- •1.3.1. Средние значения признака
- •1.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •1.3.3. Показатели вариации
- •1.3.4. Медиана и мода
- •1.3.5. Асимметрия и эксцесс
- •1.3.6. Условные моменты q-го порядка
- •1.4. Графическое изображение вариационных рядов
- •1.4.1. Гистограмма распределения
- •1.4.2. Полигон распределения
- •1.4.3. Кумулята
- •1.4.4. Огива
- •1.5. Сглаживание эмпирических данных
- •1.5.1. Графическое сглаживание
- •1.5.2. Аналитическое сглаживание
- •1.5.2.1. Сглаживание линейной функцией
- •1.5.2.2. Сглаживание показательной функцией
- •1.5.2.3. Сглаживание степенной функцией
- •1.5.2.4. Сглаживание параболической функцией
- •1.5.2.5. Сопоставление результатов сглаживания
- •1.5.2.6. Краткие рекомендации к подбору сглаживающих функций
- •1.6. Законы распределения случайных величин
- •1.6.1. Задание закона распределения
- •1.6.2. Равномерное распределение
- •1.6.3. Нормальное распределение
- •1.6.4. Распределение Стьюдента
- •1.6.5. Распределение Шарлье
- •1.6.6. Биномиальный закон распределения
- •1.6.7. Распределение Пуассона
- •1.6.8. Распределение
- •1.6.9. Показательное распределение
- •1.7. Проверка согласования эмпирического распределения с теоретическим
- •1.7.1. Критерии согласия
- •1.7.2. Критерий согласия к.Пирсона
- •1.7.3. Критерий согласия в.И.Романовского
- •1.7.4. Критерий согласия а.Н.Колмогорова
- •1.7.5. Сопоставление эмпирических распределений с нормальным распределением упрощенными способами
- •1.7.5.1. Использование показателей асимметрии и эксцесса
- •1.7.5.2. Критерий Шарлье
- •1.7.5.3. Критерий Шовенэ
- •1.7.5.4. Способ Линдеберга
- •1.7.5.5. Критерий знаков
- •1.7.6. Сопоставление эффективности критериев
- •Глава 2. Статистический анализ выборочных совокупностей случайной величины
- •2.1. Понятие генеральной и выборочной совокупностей
- •2.2. Оценивание параметров распределения
- •2.2.1. Понятие оценки параметра распределения
- •2.2.2. Интервальная оценка математического ожидания
- •2.2.3. Оценка эмпирического значения дисперсии
- •2.2.4. Сравнение средних двух или нескольких выборок
- •2.2.5. Определение необходимого объема выборок
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •2.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •2.3.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •2.4. Корреляционный анализ
- •2.5. Регрессионный анализ
- •2.5.1. Метод наименьших квадратов
- •2.5.2. Линейная регрессия
- •2.5.3. Нелинейная регрессия
- •2.5.4. Понятие о множественной регрессии
- •Глава 3. Обработка результатов многократных измерений одной величины
- •3.1. Общие замечания
- •3.1.1. Задачи обработки результатов многократных измерений
- •3.1.2. Классификация погрешностей измерений
- •3.1.3. Свойства случайных погрешностей
- •3.1.4. Среднее арифметическое
- •3.2. Оценка точности ряда равноточных однородных измерений
- •3.2.1. Средняя квадратическая погрешность
- •3.2.2. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин
- •3.2.3. Порядок обработки ряда равноточных измерений
- •3.2.4. Порядок обработки ряда двойных равноточных измерений
- •С учетом (3.26) и (3.27) получим
- •3.3. Об учете систематических погрешностей в измерениях
- •3.4. Обработка ряда неравноточных однородных измерений
- •3.4.1. Понятие о весе результата измерения
- •3.4.2. Погрешность единицы веса
- •3.4.3. Порядок обработки ряда неравноточных измерений
- •3.4.4. Порядок обработки ряда двойных неравноточных измерений
- •3.5. Допуски результатов измерений и их функций
- •Глава 4. Уравнивание геодезических построений
- •4.1. Задачи уравнительных вычислений
- •4.2. Коррелатный способ уравнивания
- •4.3. Параметрический способ уравнивания
- •4.4. Приемы решения систем линейных уравнений
- •4.4.1. Способ последовательной подстановки
- •4.4.2. Способ матричных преобразований
- •4.4.3. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса
- •4.4.4. Способ краковянов
- •4.5. Геометрические условия в геодезических построениях
- •4.5.1. Условие фигуры
- •4.5.2. Условие горизонта
- •4.5.3. Условие суммы углов
- •4.5.4. Условие дирекционных углов
- •4.5.5. Условие сторон
- •4.5.6. Условие полюса
- •4.5.7. Условие координат
- •4.6. Примеры коррелатного способа уравнивания
- •4.6.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.6.2. Уравнивание системы нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.6.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.6.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой
- •4.6.5. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.6.6. Уравнивание триангуляции
- •4.6.7.Уравнивание триангуляции по условию координат
- •4.6.8. Уравнивание линейно-угловой сети
- •4.7. Примеры уравнивания параметрическим способом
- •4.7.1. Уравнивание углов в полигоне
- •4.7.2. Система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками
- •4.7.3. Уравнивание полигонометрического хода
- •4.7.4. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
- •4.7.5. Уравнивание направлений в триангуляции
- •4.8. Нестрогие способы уравнивания
- •4.8.1. Примеры раздельного уравнивания
- •4.8.1.1. Полигонометрический ход
- •4.8.2. Способ эквивалентной замены
- •4.8.3. Способ полигонов в.В.Попова
- •4.8.4. Способ последовательных приближений
- •4.9. Оценка точности уравненных элементов и их функций
- •4.9.1. Общие положения
- •4.9.2. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
- •4.9.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
- •Списоклитературы
- •Предметный указатель
2.5.1. Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов предложен в 1806 г. французским математиком Лежандром для решения неопределенных систем линейных уравнений.
Метод наименьших квадратов – это метод нахождения оптимальных параметров линейной регрессии, таких, что сумма квадратов отклонений (регрессионных остатков) минимальна для исследуемого набора сопоставляемых статистических данных. Другими словами, идея метода наименьших квадратов заключается в минимизации суммы квадратов расстояний по оси ординат между измеренными значениями yi и вычисленными значениями yi' с использованием полученной линии регрессии
yi' = axi + b. (2.66)
Таким образом, уравнение регрессии (2.66) составляют при соблюдении условия
.
(2.67)
Часто знак суммы заменяют на знак суммы […] веденный К.Гауссом. В связи с этим выражение (2.67) можно записать в виде
[
]
→ min .
(2.68)
2.5.2. Линейная регрессия
Значения коэффициентов а и b в уравнении (2.66) могут быть найдены из решения системы линейных уравнений вида (1.79)
(2.69)
Из (2.69) следует, что
;
. (2.70)
Рассмотрим пример вычисления коэффициентов а и b и оценки их доверительных интервалов по методу наименьших квадратов.
Пример 2.14. В разное время в течение х часов сейсмическая станция, установленная в горной выработке, зарегистрировала у сигналов (см. табл. 2.11). Установить зависимость числа зарегистрированных сигналов от времени их регистрации.
Примечание: таблица 2.11 составлена с учетом вычисления коэффициента корреляции между величинами х и у.
Таблица 2.11
К примеру 2.14
№№ пп |
х |
у |
х2 |
ху |
(х – хо) |
(х – хо)2 |
(у – уо) |
(у – уо)2 |
(х – хо)х х(у – уо) |
1 |
5 |
1 |
25 |
5 |
-3 |
9 |
-14 |
196 |
+42 |
2 |
6 |
3 |
36 |
18 |
-2 |
4 |
-12 |
144 |
+24 |
3 |
6 |
8 |
36 |
48 |
-2 |
4 |
-7 |
49 |
+14 |
4 |
7 |
6 |
49 |
43 |
-1 |
1 |
-9 |
81 |
+9 |
5 |
7 |
14 |
49 |
98 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
+1 |
6 |
7 |
13 |
49 |
91 |
-1 |
1 |
-2 |
4 |
+2 |
7 |
8 |
12 |
64 |
96 |
0 |
0 |
-3 |
9 |
0 |
8 |
8 |
20 |
64 |
160 |
0 |
0 |
+5 |
25 |
0 |
9 |
8 |
15 |
64 |
120 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
8 |
17 |
64 |
136 |
0 |
0 |
+2 |
4 |
0 |
11 |
9 |
26 |
81 |
234 |
+1 |
1 |
+11 |
121 |
+11 |
12 |
9 |
22 |
81 |
198 |
+1 |
1 |
+7 |
49 |
+7 |
13 |
10 |
21 |
100 |
210 |
+2 |
4 |
+6 |
36 |
+12 |
14 |
10 |
20 |
100 |
200 |
+2 |
4 |
+5 |
25 |
+10 |
15 |
12 |
27 |
144 |
324 |
+4 |
16 |
+12 |
144 |
+48 |
|
120 |
225 |
1006 |
1980 |
0 |
46 |
0 |
888 |
+179 |
|
хо 8 |
уо 15 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
В предпоследней строке таблицы выделены жирным шрифтом суммы по соответствующим столбцам.
По формулам (2.70) находим значения коэффициентов уравнения (2.66):
;
.
Таким образом, уравнение регрессии будет иметь вид: у = 3,913х – 16,304.
Оценка коэффициента а может быть выполнена и другим способом:
,
(2.71)
где ρх,у – коэффициент корреляции, определяемый по формуле (2.53); σх и σу – стандарты переменных х и у, вычисляемые по формуле (2.5) или (2.6).
Получим:
;
;
.
Отсюда
,
что сравнительно близко к значению,
полученному ранее. Расхождения объясняются
небольшим объемом выборки (n
= 15).
Составим таблицу разностей (2.68).
Таблица 2.12
Сопоставление значений у с линией регрессии
х |
5 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
10 |
12 |
у |
1 |
3 |
8 |
6 |
14 |
13 |
12 |
20 |
15 |
17 |
26 |
22 |
21 |
20 |
27 |
у' |
3,3 |
7,2 |
7,2 |
11,1 |
11,1 |
11,1 |
15,0 |
15,0 |
15,0 |
15,0 |
18,9 |
18,9 |
22,8 |
22,8 |
30,7 |
Δу |
-2,3 |
-4,2 |
+0,8 |
-5,1 |
+2,9 |
+1,9 |
-3,0 |
+5,0 |
0,0 |
+2,0 |
+7,1 |
+3,1 |
-1,8 |
-2,8 |
-3,7 |
(Δу)2 |
5,3 |
17,6 |
0,6 |
26,0 |
8,4 |
3,6 |
9,0 |
25,0 |
0,0 |
4,0 |
50,4 |
9,6 |
3,2 |
7,8 |
13,7 |
Сумма Δу = -0,1. Сумма (Δу)2 = 184,2.
Среднюю квадратическую погрешность разностей определяют по формуле
.
(2.72)
По
формуле (2.72) получим
.
Средние квадратические погрешности коэффициентов а и b, ma и mb, оценивают по формулам:
;
. (2.73)
Таким образом, получим:
;
.
Если установить доверительную вероятность 0,95 (уровень значимости 0,05), то для числа степеней свободы ν = (n – 2) = 15 - 2 = 13 по таблице приложения 10 найдем значение t = 2,16, что позволит установить доверительные интервалы для вычисленных коэффициентов a и b: Δа = tma = 2,16∙0,554 = 1,197; Δb = tmb = 2,16∙4,54 = 9,806.