5.5. Помилка функції обмірюваних величин

У практиці геодезичних робіт часто виникає необхідність знайти середню квадратичну помилку функції, якщо відомі середні квадратичні помилки її аргументів, і навпаки.

Розглянемо функцію загального виду F=f(x,y,z, ..., u) де х, y, z, ..., u - незалежні аргументи, отримані зі спостережень або проектного розрахунку із середніми квадратичними помилками mх, mу, mz, .... mu, відповідно.

З теорії помилок вимірів відомо, що середня квадратична помилка функції незалежних аргументів дорівнює кореню квадратному із суми квадратів добутків часток похідних функцій по кожному з аргументів на середні квадратичні помилки відповідних аргументів, тобто

(5.7)

Якщо функція має вигляд

(5.8)

тo

(5.9)

При mх1=mх2 = ... = mхn = mх формула (5.9) прийме вид

(5.10)

Для функції виду

(5.11)

вираз для помилок цієї функції буде

(5.12)

Приклад. Виміряні довжини дачної ділянки а=30,00 м із середньої квадратичною помилкою 2 см і його ширина b=20,00 м з тієї ж середньої квадратичною помилкою. Потрібно знайти середню квадратичну помилку площі ділянки.

Рішення.

Функція має вигляд

Так як , то

5.6. Нерівноточні виміри

Нерівноточними називають такі виміри l1, l2, l3, ..., ln які виконані відповідно з різними середніми квадратичними помилками m₁, m₂, m₃, .... m_n, за рахунок різної кількості прийомів, використання приладів різної точності, різних умов і т.п.

Для визначення в цьому випадку арифметичної середини, як загального результату, користуються формулою

(5.13)

де Р_і - допоміжні числа, які називають вагою вимірів, що визначають ступінь довіри до їхніх результатів. Ваги обчислюють за формулою

(5.14)

де µ - безрозмірний коефіцієнт.

Поняття ваги може бути застосоване й для будь-якої функції F вимірюваних величин. Вага P_F функції F при відомій її середньо квадратичній помилці m_F обчислюють за формулою (5.15)

^(5.15)

Величину µ називають «помилкою одиниці ваги», тому що при Р_i = 1 чисельно µ=m_i.

З виразів (5.15) і (5.16)

(5.17)

Величину зворотної ваги називають зворотною вагою й звичайно позначають буквою q для ваги виміру й Q - для ваги функції.

Використовуючи формули (5.13) - (5.17), у практиці проектування геодезичних вимірів й їхньої обробки вирішують два основні завдання:

1) установлення ваг нерівноточних або різнорідних вимірів з метою спільної обробки їхніх результатів;

2) визначення ваги функції нерівноточних вимірів аргументів для одержання середньої квадратичної помилки функції й навпаки.

Приклади подібних рішень розглянуті в розділах другої частини підручника.