5.2. Властивості випадкових помилок

Випадкові помилки характеризуються наступними властивостями.

1. За певних умов вимірів випадкові помилки по абсолютній величині не можуть перевищувати відомої межі, яка зветься граничною помилкою. Ця властивість дозволяє виявляти й виключати з результатів вимірів грубі помилки.

2. Позитивні й негативні випадкові помилки приблизно однаково часто зустрічаються в ряді вимірів, що допомагає виявленню систематичних помилок.

3.Чим більша абсолютна величина помилки, тим рідше вона зустрічається в ряді вимірів.

4.Середнє арифметичне з випадкових помилок вимірів однієї й тієї ж величини, виконаних при однакових умовах, при необмеженому зростанні числа вимірів прагне до нуля. Цю властивість, яку називають властивістю компенсації, можна математично записати так: lim ([∆]/n)=0, де [∆] - знак суми, тобто [∆] = ∆1+∆2+∆3+...+∆n, n - число вимірів.

Остання властивість випадкових помилок дозволяє встановити принцип одержання з ряду вимірів однієї й тієї ж величини результату, найбільш близького до її істинного значення, тобто найбільш точного. Таким результатом є середнє арифметичне з n обмірюваних значень даної величини.

При нескінченно великій кількості вимірів n lim ([l]/n)=Х. n = ∞

При кінцевому числі вимірів арифметична середина х=[l]/n містить залишкову випадкову погрішність, однак від точного значення X вимірюваної величини вона відрізняється менше, ніж будь-який результат l безпосереднього виміру. Це дозволяє при будь-якому числі вимірів, якщо n >1, приймати арифметичну середину за остаточне значення вимірюваної величини. Точність остаточного результату тим вище, чим більше n.

5.3. Середня квадратичhа, гранична й відносна помилки

Для правильного використання результатів вимірів необхідно знати, з якою точністю, тобто з яким ступенем близькості до істинного значення вимірюваної величини, вони отримані. Характеристикою точності окремого виміру в теорії помилок служить запропонована Гауссом середня квадратическая помилка m, що обчислюється за формулою

___________ ___

m = √ ∆1+∆2+...+∆n = √ ∆2 (5.2)

n n

де n - число вимірів даної величини.

Ця формула застосовується для випадків, коли відомо істинне значення вимірюваної величини. Такі випадки в практиці зустрічаються рідко. У той же час із вимірів можна одержати результат, найбільш близький до істинного значення,- арифметичну середину. Для цього випадку середня квадратическая помилка одного виміру підраховується за формулою Бесселя

т=

(5.3)

де δ - відхилення окремих значень вимірюваної величини від арифметичної середини, які називають найімовірнійшими помилками, причому [δ] = 0.

Точність арифметичної середини, природно, буде вище точності окремого виміру. Її середня квадратическая помилка М визначається за формулою

M=m/√n (5.4)

де m - середня квадратична помилка одного виміру, що обчислює за формулою (5.2) або (5.3).

Часто в практиці для контролю й підвищення точності обумовлену величину вимірюють двічі - у прямому й зворотному напрямках, наприклад, довжину ліній, перевищення між точками. Із двох отриманих значень за остаточне приймається середнє з них. У цьому випадку середня квадратична помилка одного виміру підраховується за формулою

m = (5.5)

а середній результат із двох вимірів - за формулою

^(5,6)

де d — різниця дворазово вимірюваних величин, n — число разниць (подвійних вимірів).

Відповідно до першої властивості випадкових помилок для абсолютної величини випадкової помилки за даних умов вимірів існує припустима межа, яка називається граничною помилкою. У будівельних нормах гранична помилка називається припустимим відхиленням.

Теорією помилок вимірів доводить, що абсолютна більшість випадкових помилок (68,3%) даного ряду вимірів перебуває в інтервалі від 0 до +m; в інтервал від 0 до ±2m попадає 95,4%, а від 0 до ±3m - 99,7% помилок. Таким чином, з 100 помилок даного ряду вимірів лише п'ять можуть виявитися більше або рівні 2m, а з 1000 помилок тільки три будуть більше або рівні Зm. На підставі цього як гранична помилка ∆гран для даного ряду вимірів приймається потроєна середня квадратична помилка, тобто ∆_гран =3m. На практиці в багатьох роботах для підвищення вимог точності вимірів приймають ∆_гран =2m. Погрішність вимірів, величини яких перевершують ∆_гран , вважають грубими.

Іноді про точність вимірів судять не по абсолютній величині середньої квадратичної або граничної помилки, а по величині відносної помилки.

Відносною помилкою називається відношення абсолютної погрішності до значення самої вимірюваної величини. Відносна помилка виражається у вигляді простого дробу, чисельник якої - одиниця, а знаменник - число, округлене до двох-трьох значущих цифр із нулями. Наприклад, відносна середня квадратична помилка виміру лінії довжиною l=110 м при m₁=2 см дорівнює m₁/l = 1/5500, а відносна гранична помилка при ∆гран = Зm ∆гран /l = 1/1800.