Доказательство

данной истины,

когда планета

движется

по эллипсу

Когда планета совершает движение по эллипсу, а центр движения нахо­дится в одном из фокусов, то радиус-вектор описывает равные площади. Это равенство вначале не столь ощу­тимо, потому что площади не все подобны и Вы найдете подобие лишь среди тех, которые соответствуют одна другой на одинаковом расстоянии от перигелия и от афелия. Но хотя площади (рис. 39) не все подобны, они все равны: те, у которых наименьшая длина, выигрывают в ширине то, что они проигрывают в длине. Вы сможете наглядно увидеть это на рисунке; однако необходимо привести доказательство этого.

Вы знаете, что площадь треуголь­ника, или пространство, заключен­ное между тремя сторонами, есть половина произведения высоты на основание, а потому Вы полагае­те, что, когда треугольники имеют одно и то же основание и одина­ковую высоту, площади равны. Теперь предположим, что тело (рис. 39), двигаясь равномерно, проходит в равные промежутки

времени равные отрезки АВ, ВС; очевидно, что площади ASB, BSC, описываемые радиусом-вектором, равны, так как оба этих треугольника имеют одинаковую высоту и одинаковое основание: одинаковое основание — так как ВС равно АВ и одинаковую высоту — так как высота и того и другого — это перпендикуляр, опущенный из вершины S на прямую AD.

Следовательно, пока это тело будет продолжать двигаться по той же прямой и пока треугольники будут иметь общую вершину в той же точке, площади останутся равными и будут различаться лишь потому, что они будут выигрывать в длине то, что потеряют в ширине.

Однако, когда это тело вместо прямой линии будет опи­сывать кривую линию вокруг точки S, где мы установили вершину треугольников, данное направление не изменит размера площадей, а изменит лишь их конфигурацию, так что они выиграют в ширину то, что они потеряют в длину. Для доказательства сообщим этому телу, пришедшему в С, силу, способную, при условии что на тело не будут действо­вать другие силы, перенести его в Е за то же время, за какое

оно пршло бы, двигаясь равномерно, из С в D. Из выше­сказанного явствует, что данное тело, подчиняясь этим двум силам, пройдет диагональ CF параллелограмма CDFE за то же время, за какое оно прошло бы СЕ или CD. Стало быть, радиус-вектор опишет площадь SCF, но эта площадь равна SCD, так как два треугольника имеют общее ос­нование в CS и, находясь между двумя параллелями СЕ и DF, имеют также общую высоту в перпендикуляре, опу­щенном с одной из этих прямых на другую. Вам понятно, что то же самое рассуждение доказывает равенство следующих площадей.

Площади

пропорциональны

периодам времени

лишь при допущении,

что планета

постоянно направлена

к одному и тому же

центру

Но если бы планеты не всегда направ­лялись в точку S, а периодически устремлялись бы в какую-либо смеж­ную точку, то плоскости непременно были бы неравны; потому что тело, вместо того чтобы попасть на пря­мую DF, в тот же период времени либо пройдет поверх этой прямой, либо не достигнет ее, и, следовательно, описанные площади будут либо большими, либо меньшими, чем SCD.

Итак, доказано, что, когда тело двигается по кривой, постоянное направление к той же точке доказывает про­порциональность площадей периодам времени; отсюда Вы должны заключить обратное данному положению, а именно что пропорциональность площадей периодам времени доказывает, что тело постоянно направлено к одной и той же точке.