Все науки были бы

Точными, если бы

Говорили очень

Простым языком

Если только поразмыслить над ана­лизом, следует признать, что он должен проливать тем больше света, чем он проще и точнее; и если вспомнить, что искусство рассуждать сводится к хорошо построенному языку, то следует заклю­чить, что наибольшая простота и точность анализа могут быть следствием наибольшей простоты и точности языка. Стало быть, нам нужно образовать идею этой простоты и точности, чтобы приблизиться к ним во всех наших ис­следованиях, насколько это будет возможно.

Точными науками называют науки, в которых имеется строгое доказательство. Почему же не все науки точные? И если есть среди них такие, где положения доказаны не строго, то как они там доказываются? Хорошо ли знают, что хотят сказать, когда предполагают доказательства, кото­рые, строго говоря, не являются доказательствами?

Доказательство либо не является доказательством, либо оно точное доказательство. Но нужно согласиться, что если оно не выражено в том языке, в каком оно должно быть выражено, то оно будет казаться тем, чем оно вовсе не является. Поэтому не вина наук, если они не доказывают строго; это вина ученых, которые плохо говорят.

Язык математики, алгебра,— самый простой из всех

языков. Не означает ли это, что доказательства имеются

только в математике? И поскольку другие науки не могут

достичь такой же простоты, смогут ли они быть достаточно

простыми, чтобы убеждать, что они действительно доказы­вают то, что доказывают?

Во всех науках доказывает анализ; и он доказывает там каждый раз, когда говорит на языке, на котором он дол­жен говорить. Я хорошо знаю; что различают разные виды анализа: логический анализ, метафизический, математический, но есть только один анализ, который одинаков во всех науках, потому что всюду ведет от известного к неизвестному путем рассуждения, т. е. путем ряда суждений, которые заключены одни в других. Мы составим себе идею языка, которого он должен при­держиваться, если попытается разрешить одну из задач, обычно разрешаемую только с помощью алгебры. Вы­берем одну из более легких задач, потому что она бу­дет для нас более доступна; к тому же такой задачи будет достаточно для того, чтобы раскрыть все искус­ство рассуждения.

Задача, которая это доказывает

Если, имея в обеих руках жетоны, я переложу один жетон из правой руки в левую, то я буду иметь их

столько же в одной руке, сколько и в другой; а если я переложу один жетон из левой руки в правую, я буду иметь их в правой вдвое больше, чем в левой. Я спрашиваю вас: какое число жетонов у меня в каждой руке?

Дело не в том, чтобы угадать это число, делая предполо­жения,— его нужно найти, рассуждая, идя от известного к неизвестному путем ряда суждений.

Здесь даны два условия, или, как говорят математики, имеются два данных: первое — если я переложу один жетон из правой руки в левую, то я буду иметь одинако­вое число жетонов в каждой руке; второе — если я перело­жу один жетон из левой в правую, я буду иметь двойное число жетонов в правой. Ведь вы видите, что если возможно найти число, которое я вам предлагаю найти, то это можно сделать, лишь рассматривая отношения, в которых эти два данных находятся друг к другу. Вы поймете, что эти отношения будут более или менее явными в зависимости от того, насколько просто будут выражены данные.

Если бы вы сказали: «Число, которое вы имеете в правой руке, когда из него вычли один жетон, равно числу, которое вы имеете в левой руке, когда к нему прибавили один жетон», вы выразили бы первое данное при помощи большего количества слов. Скажите же короче: «Число в вашей правой руке, уменьшенное на единицу,

254

255

равно числу в вашей левой руке, увеличенному на едини­цу», или: «Число в вашей правой минус единица равно чис­лу в левой плюс единица». Или, наконец, еще короче: «Правая минус один равна левой плюс один».

Таким образом, от перевода к переводу мы достигнем самого простого выражения первого данного. Ведь чем больше вы будете сокращать свою речь, тем больше будут сближаться ваши идеи; и чем больше они сблизятся, тем легче вам будет понять их во всех отношениях. Значит, нам остается рассмотреть второе данное так же, как и первое; его нужно перевести в наипростейшее выражение.

По второму условию задачи, если я переложу один жетон из левой руки в правую, в правой у меня будет двойное число жетонов. Значит, число в моей левой руке, уменьшенное на единицу, есть половина числа в моей правой, увеличенного на единицу. Следовательно, вы выра­зите второе данное, говоря: «Число в вашей правой руке, увеличенное на единицу, равно взятому дважды числу в левой, уменьшенному на единицу».

Вы переведете это выражение в другое, более простое, если скажете: «Правая, увеличенная на единицу, равна двум левым, уменьшенным каждая на единицу», и вы придете к самому простому выражению: «Правая плюс один равна двум левым минус два». Итак, мы перевели данные в следующие выражения:

Этот способ представляется сам собой: ибо если правая минус один равна левой плюс один, значит, правая будет равна левой плюс два; и если правая плюс один равна двум левым минус два, значит, правая будет равна двум левым минус три . Таким образом, вы замените два первых уравнения двумя следующими:

Правая равна левой плюс два. Правая равна двум левым минус три.

Первый член этих двух уравнении — то же самое количество, правая; и вы видите, что узнаете значение второго члена одного или другого уравнения. Но второй член первого уравнения равен второму члену второго, поскольку они оба равны одному и тому же количеству, выраженному правой. Следовательно, вы сможете соста­вить это третье уравнение:

Левая плюс два равна двум левым минус три.

Тогда останется только одно неизвестное, левая; и вы узнаете его значение, когда выделите его, т. е. когда вы перенесете все известные в одну сторону. Таким обра-

Два плюс три равно двум левым минус одна левая. Два плюс три равно одной левой. Пять равно одной левой.

Правая минус один равна левой плюс один. Правая плюс один равна двум левым минус два.

Выражения этого вида называются в математике урав­нениями. Они составлены из двух равных членов: «Правая минус один» — первый член первого уравнения; «Левая плюс один» — второй член.

Неизвестные количества смешаны в каждом из этих членов с известными количествами. Известные — это «минус один», «плюс один», «минус два»; неизвестные — «правая» и «левая», при помощи которых вы выражаете два числа, которые вы ищете.

Пока известные и неизвестные смешаны так в каждом члене уравнений, невозможно решить задачу. Но не нужно большого усилия мысли, чтобы заметить, что если есть способ перенести количество из одного члена в другой, не изменяя равенства между ними, то мы можем, оставляя в одном члене лишь одно из двух неизвестных, выделить там известные, с которыми оно смешано.

256

Задача решена. Вы открыли, что число жетонов у меня в левой руке — пять. В уравнениях «правая равна левой плюс два», «правая равна двум левым минус три» вы найдете, что семь есть число, которое было у меня в правой руке. Ведь эти два числа, пять и семь, удовлетво­ряют условиям задачи.

Решение этой задачи

с помощью алгебраических знаков

На этом примере вы ясно видите, как простота выражений облегчает рассуждение; и вы понимаете, что если анализ нуждается в подобном языке, когда задача так же легка, как и та задача, которую мы только что решили, то он нуждается в нем еще больше, когда задачи усложняются. Поэтому преимущество анализа в математике вытекает исключительно из того, что анализ говорит здесь на самом простом языке. Чтобы объяснить это, достаточно даже поверхностного представления об алгебре.

Этот язык не нуждается в словаре. Здесь выражают

257

плюс знаком +, минус — знаком — и «равно» — знаком =, а количество обозначают буквами и цифрами. Например, х будет числом жетонов, которые я имею в правой руке, а у — числом жетонов в левой руке. Значит, х — 1 = у + 1 означает, что число жетонов у меня в правой руке, умень­шенное на единицу, равно числу жетонов в левой руке, увеличенному на единицу; и х + 1 = 2 у — 2 означает, что число в моей правой руке, увеличенное на единицу, равно взятому дважды числу в левой руке, уменьшенному на единицу. Значит, данные нашей задачи заключены в этих двух уравнениях:

х — 1 = у+ 1; х + 1 = 2 у - 2,

которые при выделении неизвестного первого члена при­нимают вид:

* = у + 2; х = 2у-3.

Из двух последних членов этих уравнений мы образуем уравнение

х + 2 = 2 у — 3,

которое последовательно принимает вид:

2 = 2 у — у — З;

2 + 3=2у — у; 2 + 3 = у;

5 = у.