доказывающий,
что
тождество есть
признак
очевидности
разумаДругой пример,
помощи этого же правила я докажу Вам, что сумма трех углов треугольника равна двум прямым, ибо это еще одна истина, в познании которой мы нуждаемся.
Прямая есть линия, которая идет прямо от одной точки к другой. Это линия, направление которой не изменяется, или же линия, сохраняющая на всем своем протяжении направление, в каком она начинается; это наикратчайшая линия между двумя точками; это такая линия, что, когда поворачиваются ее крайние точки, вся она поворачивается так, что ни одна из ее частей не изменяет своего положения относительно других частей. Вы видите, что все эти выражения представляют собой лишь различные способы излагать одну и ту же идею и что они предполагают идею, которую они будто бы определяют.
Когда речь идет об идее, составленной из нескольких других идей, она определяется легко, так как для этого достаточно выразить идеи, из которых она образована. Говоря, например, что треугольник есть площадь, ограниченная тремя прямыми, дают его определение; и это определение носит характер, весьма отличный от мнимых дефиниций, даваемых прямой линии. В самом деле, дефиниция треугольника дала бы его идею тому, кто никогда не замечал ни одного треугольника; напротив, дефиниции прямой не дали бы ее идеи тому, кто никогда не замечал никакой прямой линии.
Дело в том, что идеи, когда они просты, не приобретаются при помощи дефиниций, а происходят исключительно из чувств. Проведите линию при помощи компаса — это будет кривая линия; проведите ее с помощью линейки, и это будет прямая линия. Правда, ничто не убедит Вас в том, что эта линия действительно прямая, так как ничто не убедит Вас, что сама линейка прямая; но, в конце концов, прямая линия — это то, чем Вам кажется линия, проведенная с помощью линейки; и хотя эта видимость может быть ложной, она тем не менее является идеей пря-
16
17
мой линии. Рассматривая прямую и кривую линии, Вы можете заметить, что вторая образована из нескольких линий, которые пересеклись бы, если бы они были продолжены. Но когда Вы скажете: «прямая линия — одна, кривая линия состоит из многих», Вы не дадите определение ни той, ни другой. Вы видите, что есть вещи, которым не следует даже и помышлять дать определение *.
Прямая перпендикулярна другой прямой, когда она не отклоняется ни в какую сторону, или когда она не наклонна, когда она с обеих сторон образует два равных угла, два прямых угла, два угла, каждый из которых имеет 90 °, или измеряется четвертью окружности. Все это лишь синонимические и тождественные выражения для того, кто знает значение слов.
Прямая является наклонной, когда ее направление отклоняется от направления другой прямой, когда, будучи продолжена до точки, где она встречается с этой другой прямой, она составила бы с ней два неравных угла, два угла, один из которых имел бы более, а другой — менее 90 °.
Две прямые параллельны, когда по всей их длине точки одной прямой одинаково удалены от соответствующих точек другой, или когда все прямые, проведенные из точек одной прямой в соответствующие точки другой, имеют совершенно одинаковую длину.
Вы заметите прежде всего, что положение прямой линии есть лишь отношение ее направления к направлению другой линии и что, следовательно, если дано ее направление, то ее положение определено.
Во-вторых, Вы заметите, что одна прямая может занимать по отношению к другой прямой лишь три положения: она или перпендикулярна ей, или наклонна к ней, или ей параллельна. Наконец, Вы заметите, что положение одной прямой по отношению к другой является взаимным: если одна параллельна другой, то и другая ей параллельна; если одна перпендикулярна другой, то и другая ей перпендикулярна; если одна наклонна к другой, то и другая к ней наклонна и каждая из них образует с другой одни и те же углы. Достаточно взглянуть на термины, в них употребляе-
* Со времени первого издания моего «Курса обучения» я показал в моей «Логике», что вещи познаются только благодаря анализу и что дефиниции ограничиваются тем, что указывают на вещи. Всякая дефиниция, предполагающая, что вещь известна, является скорее дефиницией слова, чем дефиницией вещи 5.
мые, и мы увидим, что все эти предложения тождественны и, следовательно, не относятся к числу тех, которые следует пытаться доказать. Нам остается дойти путем ряда тождественных предложений до заключения, что сумма трех углов треугольника равна двум прямым.
Предположить, что прямая EG (рис. 5) является перпендикуляром, опущенным на прямую АВ,— значит предположить, что она образует с прямой АВ два равных угла, или два прямых угла.
Предположить, что эта прямая продолжена вниз от прямой АВ,— значит предположить, что она продолжена в направлении прямой EF. Следовательно, если мы предположим, что прямая EF является этим продолжением, мы тем самым признаем, что прямая GF, так же как и прямая EF, образует с прямой АВ два прямых угла, ибо, если бы два угла были неравными, один был бы больше прямого угла, а другой — меньше. А это означало бы, что прямая GF была бы наклонной; значит, она не была бы продолжением прямой EG, что противоречит предположению, из которого мы исходим.
Стало быть, как в своей нижней части, так и в своей верхней части прямая EF перпендикулярна прямой АВ, а сказать так — то же, что сказать, что прямая АВ перпенди-кулярна прямой EF, поскольку предположить, что прямая АВ наклонна к прямой EF, означало бы предположить, что прямая EF наклонна к прямой АВ, поскольку прямые занимают по отношению друг к другу одинаковое положение.
Но прямая EF, будучи продолжена до точки Н, следует направлению, заданному двумя точками Е, G, и является прямой по всей своей длине.
Если это так, то сказать, что прямая CD параллельна прямой АВ,— значит сказать, что она образует с пря-
19
18
мой ЕН углы, подобные углам, которые образует прямая АВ с той же самой прямой; а сказать, что она образует два подобных угла,— значит сказать, что она образует прямые углы. В самом деле, если бы мы допустили противоположное, мы допустили бы, что она наклонна по отношению к прямой ЕН; а предположив в ней наклон, которого лишена прямая АВ, мы допустили бы, что она не параллельна прямой АВ.
Ведь сказать, что прямая CD образует с прямой ЕН прямые углы,— значит сказать, что прямая ЕН образует прямые углы с прямой CD, а сказать, что прямая ЕН образует прямые углы с прямой CD,— значит сказать, что она образует прямые углы с прямой АВ. Таким образом, доказано, что прямая, перпендикулярная другой прямой, перпендикулярна всем прямым, параллельным этой второй прямой, или что она образует со всеми прямыми, параллельными последней, прямые углы.
Следовательно, если эта прямая наклонна к одной из параллельных, она будет одинаково наклонна ко всем другим параллельным, ибо предположить, что она не одинаково к ним наклонна,— значит предположить, что она не прямая или что прямые, которые она пересекает, не параллельны.
Следовательно, прямая FG одинаково наклонна к прямой АВ (рис. 6 ) и к прямой CD. Ведь сказать, что она одинаково наклонна к обеим,— значит сказать, что она образует с той стороны, в которую она отклоняется, равные углы на каждой параллели; что угол q, внешний двум параллелям, равен внутреннему углу и и что внутренний угол s равен внешнему углу у.
Очевидно также, что с другой стороны прямой FG внешний угол р равен внутреннему углу t, а внешний угол х — внутреннему углу r. Чтобы сделать это явным, нужно лишь перевернуть рисунок.
Впрочем, если на первом рисунке прямая, которая перпендикулярно пересекает две параллели, образует на каждой два прямых угла, то на втором рисунке прямая, пересекающая их наклонно, образует на каждой два угла, сумма которых равна двум прямым. Ибо наклонность линии FG, образующая, например, угол q, не равный углу р, не может изменить суммарную величину этих двух углов. В самом деле, чтобы заметить тождество суммы двух углов на втором рисунке и суммы двух углов на первом, достаточно принять во внимание, что на обоих рисунках
20
Величина рассматриваемых нами двух углов равна полу-Окружности.
Значит, угол р равен двум прямым минус угол q; аналогичным образом угол t равен двум прямым минус угол и, ведь угол и равен углу q. Таким образом, каждый из углов p и t равен одной и той же величине; следовательно, они равны друг другу.
Та часть прямой FG, которая находится выше линии АВ, наклонена в сторону В, а нижняя часть ее наклонена в сторону А. Ведь предположить, что эти две линии прямые,— значит предположить, что, как в той своей части, которая выше АВ, так и в той, которая ниже АВ, прямая FG имеет одинаковый наклон; если бы он не был одинаковым, одна из двух линий не была бы прямой.
Но сказать, что наклон одинаков,— значит сказать, что прямая FG со стороной А образует угол, равный углу, который она образует со стороной В, и угол r равен углу q. Таким же путем можно будет доказать, что угол р равен углу s, угол t равен углу y, угол и — углу х. Это накрест-лежащие углы; следовательно, накрестлежащие углы равны.
В самом деле, очевидно, что угол г равен двум прямым минус угол р, а угол q равен двум прямым минус угол р. Значит, каждый из них равен двум прямым за вычетом одной и той же величины. Следовательно, они равны друг ДРУгу.
21