6.1. Линейные преобразования

Будем говорить, что на множестве векторов задано преобразованиеесли каждому векторупо некоторому правилу поставлен в соответствие вектор

Преобразование называется линейным, если для любых векторов ии для любого действительного числавыполняются равенства

Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор в самого себя.

Тождественное преобразование обозначается

Рассмотрим трехмерное пространство с базисом в котором задано линейное преобразованиеПрименив его к базисным векторам, мы получим векторыпринадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса

Матрица

называется матрицей линейного преобразования в базисе Столбцы этой матрицы составляются из коэффициентов в формулах преобразования базиса.

Матрицей тождественного преобразования является единичная матрица

Для произвольного вектора результатом применения к нему линейного преобразованиябудет векторкоторый можно разложить по векторам того же базисагде координатыможно найти по формулам:

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы

Обратный переход от нового базиса

к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет координатыотносительно старого базиса и координатыотносительно нового базиса, т.е.

Подставив значения

в левую часть равенства, получим после преобразований

или в матричной форме

Рассмотрим пример. Вектор заданный в базисевыразить в базисе

Выразим связь между базисами

Матрица перехода от базиса к базисуимеет вид

Найдем матрицу обратную данной

Согласно формуле

получим новые координаты вектора в базисе

Таким образом, вектор может быть представлен в виде

6.2. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Вектор называется собственным вектором матрицы если найдется такое число что выполняется равенство

т.е. результатом применения к линейного преобразования, задаваемого матрицейявляется умножение этого вектора на числоСамо числоназываетсясобственным числом матрицы

Система уравнений для определения координат собственного вектора

отсюда

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен нулю (правило Крамера). Записав это условие в виде

получим уравнение для определения собственных чисел называемоехарактеристическим уравнением. Кратко его можно представить в виде поскольку в его левой части стоит определитель матрицыМногочлен относительноназываетсяхарактеристическим многочленом матрицы

Свойства характеристического многочлена.

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса. Так как

но

следовательно Таким образом,не зависит от выбора базиса. Значит,не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица линейного преобразования являетсясимметричной, то все корни характеристического уравнения – действительные числа.