24.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке и неотрицательна, т.е.при всехРассмотрим фигуру, ограниченную графиком функциии прямыми

Рис. 37

Криволинейная трапеция

Полученную фигуру называют криволинейной трапецией. Задача состоит в том, чтобы дать определение и указать способ вычисления площади криволинейной трапеции.

Для этого разобьем отрезок на отрезков точками

проведем через эти точки прямые, параллельные оси

Таким образом, криволинейная трапеция разобьется на частей, каждая из которых также будет криволинейной трапецией. Пусть

.

В каждом отрезке выберем произвольную точку.

Рассмотрим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями и высотамиПлощадьэтой ступенчатой фигуры вычисляется по формуле

При достаточно малых отрезках ступенчатая фигура будет мало отличаться от исходной криволинейной трапеции. Поэтому за площадь криволинейной трапециипринимают предел площадей ступенчатых фигур при стремлении к нулю длин всех отрезков разбиения

Рассмотрим другую задачу. Пусть материальная точка движется вдоль оси из точкив точкупод действием силы, направление действия силы совпадает с направлением движения точки и величина силызадана как функция от координатыточки, т.е.

Задача состоит в том, чтобы найти работу силы при перемещении материальной точки из точкив точкуДля этого следует разбить отрезокначастей точками. В каждом отрезкепроизвольно выберем точку

Тогда работа силы на каждом отрезкеприближенно равна, а на всем отрезкеработу этой силыможно приближенно считать равной сумме

т.е.

Таким образом, предел этой суммы есть работа переменной силы при перемещении материальной точки из точки в точку

24.2. Определение определенного интеграла

Вывод: если существует конечный предел интегральных сумм

при причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезкана части, ни от выбора точекто функция называется интегрируемой на отрезке , а указанный пределназывается определенным интегралом от функции по отрезкуи обозначается символом

Если выполнено одно из следующих условий:

- функция непрерывна на отрезке;

- функция ограничена на отрезкеи имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва;

- функция монотонна на отрезке;

то интегрируема на отрезкеи, следовательно, существует

В этом геометрический смысл определенного интеграла.

Кроме того, работа непрерывной на отрезке переменной силыпри перемещении материальной точки из точкив точку, вычисляется по формуле

24.3. Свойства определенного интеграла. Теорема Коши о существовании определенного интеграла

Свойства определенного интеграла.

1)Если функция определена в точке справедливо равенство

2)Если функция интегрируема на отрезке, то

3)Интеграл

4)Если функция интегрируема на отрезкеи, то функциятакже интегрируема на отрезкеи справедливо равенство

5)Если функции интегрируемы на отрезке, то функциятакже интегрируема на отрезкеи справедливо равенство

6)Если функция интегрируема на отрезкеито функцияинтегрируема на отрезкахи справедливо равенство

7)Если функция интегрируема на отрезкеипри всех, то

8)Если функции интегрируемы на отрезкеипри всех, то

9)Если функция интегрируема на отрезкеипри всех, то

10)Если функция интегрируема на отрезкеипри всех, то существует такое число, удовлетворяющее неравенствам, что

11)Если функция интегрируема на отрезке, то на этом отрезке найдется такая точка, что справедливо равенство

Определенный интеграл

являющийся пределом интегральных сумм есть постоянная величина, не зависящая от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования. Поэтому, если переменную под знаком определенного интеграла обозначить другой буквой, то интеграл не изменится, т.е.

Достаточное условие существования определенного интеграла.

Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.