10.1. Уравнение прямой в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и определять заданием двух уравнений первой степени.

Пусть в прямоугольной системе координат задана произвольная прямая которая получилась в результате пересечения двух плоскостейи уравнениями

Эти два уравнения определяют прямую в том случае, если векторы

не коллинеарны.

Таким образом, система уравнений, состоящая из уравнений двух плоскостей, определяет уравнение прямой в пространстве

Для решения задач данная система, определяющая прямую в пространстве, является не всегда удобным представлением прямой. В этом случае используют специальный вид уравнений прямой.

Пусть дана прямая и ненулевой векторлежащий на данной прямой или параллельный ей. Векторназывается направляющим вектором данной прямой.

Запишем уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий векторТочкалежит на прямойтогда и только тогда, когда векторколлинеарен направляющему векторут.е. когда координаты этих векторов пропорциональны

- это есть каноническое уравнение прямой.

Рис. 23

Линия в пространстве

Чтобы перейти от уравнения

к уравнению

необходимо:

1. найти которая принадлежит для этого следует задать числовое значение одной из переменныхи подставить его вместо соответствующей переменной в уравнение

решив систему определить две другие координаты;

2. найти направляющий вектор так как прямаяопределена пересечением плоскостейито она перпендикулярна векторамиПоэтому векторможно взять как

Рассмотрим пример. Записать каноническое уравнение прямой

Пусть тогда

Следовательно

Так как

то направляющий вектор прямой

Запишем уравнение заданной прямой в каноническом виде

Иногда прямую полезно задавать в параметрическом виде. Например, в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Каждое из отношений

равно частному от деления вектора

на коллинеарный вектор Обозначим это частное через Тогда

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Когда величина (параметр) принимает различные значения, точкадвижется по прямой, приона совпадает сположительным и отрицательным значениямотвечают точки, расположенные на прямой по разные стороны от

Для определения точки пересечения прямой и плоскости следует задать прямую в параметрическом виде и переменные выраженные через параметр, подставить в уравнение плоскости. Получим уравнение с одной переменнойнайдем ее. Вернемся к параметрическому виду прямой и найдемкоординаты точки пересечения прямой и плоскости.

Рассмотрим пример. Найдем точку пересечения прямой

и плоскости

Зададим прямую в параметрическом виде

,

Подставим в уравнение плоскости

из данного уравнения выразим параметр

Вернемся к параметрическому уравнению прямой и найдем значения

т.е.

10.2. Условия параллельности и перпендикулярности, прямых в пространстве

Угол между прямыми.

При любом расположении прямых ив пространстве, один из двух углов между ними равен углумежду их направляющими векторамииа второй угол равен

Условие параллельности прямых.

Прямые ипараллельны в том случае, когда их направляющие векторыиколлинеарны, следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство

Условие перпендикулярности двух прямых.

Прямые и перпендикулярны в том случае, когда их направляющие векторыиперпендикулярны, т.е.

Уравнение перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую

не проходящую через точку представляется уравнениями

Рассмотрим пример. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую

и основание перпендикуляра.

Запишем уравнение прямой в симметричном виде. Пусть точка, принадлежащая прямой, имеет координату тогда

Уравнение прямой примет вид

Искомый перпендикуляр представляется уравнениями

После упрощений, получим

Координаты основания перпендикуляра найдем, решив систему трех уравнений

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

Даны точка и прямая

Требуется найти расстояние от точки до прямой, т.е.длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Можно пойти по двум путям. Согласно первому пути, можно сначала найти основание перпендикуляра – точку затем длину отрезкаВторой способ основан на применении формулы

Рассмотрим пример. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую

Запишем уравнение прямой в каноническом виде

Тогда, согласно данным задачи

получим