Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Фгбоу впо «Самарская государственная сельскохозяйственная академия»

Е. В. Бунтова

Математика

Учебное пособие

Самара 2012

ББК 22.11 Я7

УДК 51(075)

Б-91

Рецензенты:

канд. пед. наук, доцент кафедры «Математика»

ФГБОУ ВПО «Орловский государственный аграрный университет»

Е. В. Александрова;

канд. пед. наук, доцент кафедры «Математика и теоретическая механика»

ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный аграрный университет»

И. Н. Дементьева

Бунтова, Е. В.

Б-91 Математика: учебное пособие. – Самара: РИЦ СГСХА, 2012. – 459 с.

Учебное пособие включает курс лекций по разделам дисциплины «Математика» в соответствии с рабочей программой для направления подготовки «Агроинженерия» и примерные задания для практических занятий по соответствующим темам лекций. Издание служит формированию у студентов аппарата фундаментальной математической подготовки, как основы изучения и практических приложений общественно-полезных и специальных дисциплин.

Представлены основные понятия математики и их приложения в различных областях. В настоящее время математика служит теоретическим фундаментом большинства технических и естественнонаучных дисциплин. Овладение ее методами и умение применять их на практике необходимо для каждого естествоиспытателя.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Агроинженерия» и молодых педагогов.

© Бунтова Е. В., 2012

© ФГБОУ ВПО «Самарская государственная

сельскохозяйственная академия», 2012

Введение

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Это самая древняя наука, она стала складываться во втором тысячелетии до нашей эры. Уже строители египетских пирамид владели математическими методами и знаниями.

Окончательно как наука математика была оформлена в третьем веке Евклидом в его бессмертных «Началах». Сложившись, она не перестает развиваться, разрабатываются новые методы, открываются иные применения, совершенствуется символика и научный аппарат.

Одновременно с развитием методов и отраслей математики происходило ее внедрение в другие науки. Благодаря использованию математических методов уже не только обрабатывались показания приборов и результаты экспериментов, но стали создаваться математические модели различных процессов и систем.

Таким образом, используя математический подход, можно проникнуть в еще не исследуемые области физического мира, создать модели малоизученных явлений.

Сила математики именно в ее способности создавать все более высокие абстракции, оперировать ими, изучать их особенности и закономерности.

Последние десятилетия ознаменовались бурным развитием средств и методов вычислительной математики. Математическое моделирование позволяет рассчитать с помощью методов вычислительного эксперимента такие процессы, которые даже не доступны к постановке опыта (управляемый термоядерный синтез, физика лазеров и т.д.).

На сегодняшний день возможно математическое прогнозирование состояния и эволюционного развития различного рода сложных систем.

Этим определяется место математики в системе высшего профессионального образования.

Целью учебного пособия «Математика» является формирование у студентов системы компетенций для решения профессиональных задач по эффективному использованию основных законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности; применение методов математического анализа и моделирования; готовности систематизировать и обобщать информацию по формированию и использованию ресурсов предприятия; готовности к обработке результатов экспериментальных исследований; способности осуществлять сбор и анализ исходных данных для расчета и проектирования.

Лекция №1. Матрицы. Определители и их свойства

1. Понятие о решении системы линейных алгебраических уравнений.

2. Матрицы.

3. Алгебра матриц: сложение, вычитание, умножение на число, произведение.

4. Определители второго и третьего порядков и их свойства.

5. Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки (столбца).

1. Понятие о решении системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений с переменными имеет вид

где -произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде

Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Рассмотрим пример. Система уравнений

- совместная и определенная, так как имеет единственное решение

Система

- несовместная.

Система

- совместная и неопределенная, так как имеет более одного, а точнее бесконечное множество решений , за принимается любое число.

Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

2. Матрицы

Математика – это набор инструментов. Каждый инструмент служит для выполнения определенной цели. Например, для исследования сложных объектов, которые характеризуются несколькими числами, разработан специальный аппарат, который называется теорией матриц.

Значительная часть математических моделей объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной форме – матричной. Рассматриваемую систему линейных алгебраических уравнений также можно представить в матричной форме.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Например,

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: ,.., а элементы матрицы обозначаются строчными буквами с двойной индексацией гдеi-номер строки, j-номер столбца. Например, матрица

С помощью матриц удобно записывать различные физические, экономические, технические и другие данные, выражающие те или иные зависимости.

Матрица может состоять из одной строки или столбца.

Если число строк в матрице равно числу столбцов, то она называется квадратной. Например:

.

Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки, называютсядиагональными.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, а диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой E. Например,

.

3. Алгебра матриц: сложение, вычитание, умножение на число, произведение

Умножение матрицы на число. При умножении матрицы на число получается матрица, элементы которой получены умножением каждого элемента исходной матрицы на это число

.

Рассмотрим пример:

,

.

Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.

Сложение и вычитание матриц. Суммой (разностью) двух матриц называется матрица, элементы которой получены с помощью поэлементного сложения (вычитания).

Пример:

.

Вычитание матриц аналогично.

Умножение матриц. В результате умножения двух матриц получается новая матрица. Элементы первой строки, которой получаются путем сложения произведений соответствующих элементов первой строки первой матрицы и первого столбца (затем второго и т.д.) второй матрицы. Аналогично получается вторая, третья, … m – я строка новой матрицы.

Пример:

Умножение матрицы на матрицу определено в том случае, если количество столбцов в первой матрице равно числу строк во второй матрице.

Пример:

.

Возведение матрицы в степень определяется только для квадратных матриц. Важно последовательное умножение матриц.

Пример: найти , если

Транспонирование матриц – переход к новой матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка

Обозначение

Рассмотрим пример:

4. Определители второго и третьего порядков и их свойства

Пусть А - произвольная квадратная матрица n-го порядка

Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы

где -минор элемента определителя.

Минором элемента определителя называется определитель, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых находится данный элемент .

Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Формула, которая позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке

где -определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием первой строки иj-го столбца.

Обозначение

Для определителей второго и третьего порядка легко получить выражения через элементы матрицы.

Определитель второго порядка:

Определитель третьего порядка:

Порядок матрицы является и порядком определителя.

Вычисление определителей второго порядка

Например:

Вычисление определителей третьего порядка.

Определители третьего порядка можно вычислить по правилу треугольника

Рассмотрим пример:

5. Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки (столбца)

Определители любого порядка возможно вычислить по теореме Лапласа.

Теорема Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения (разложение по элементам какого – либо ряда)

где -алгебраические дополнения элементов строк матрицы. Или

где -алгебраические дополнения элементов столбцов матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма индексов число четное, и с противоположным знаком, если сумма индексов (число нечетное

Найдем алгебраическое дополнение для элемента матрицы

Каждая матрица n-го порядка имеет миноров-го порядка.

Найдем алгебраические дополнения для элементов первой строки матрицы

Запишем определитель матрицы и вычислим с помощью разложения по первой строке

Аналогично можно разложить определитель матрицы по любой строке или столбцу.

Рассмотрим пример.

Вычислим определитель, разложив его по первой строке

Вычислим определитель, разложив его по второму столбцу

Основные свойства определителей.

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется

2. Если в матрице поменять местами два столбца или две строки, то знак определителя поменяется на противоположный, а абсолютная величина останется прежней.

3. Определитель с одинаковыми столбцами равен нулю.

4. Общий множитель элементов столбца (или строки) можно вынести за знак определителя

5. Если в определителе есть столбец, в котором все элементы равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Определитель не изменится, если к элементам столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число.

Контрольные вопросы

1. Дать определение матрицы, пояснить нумерацию элементов. Как определить размер или порядок матрицы?

2. Как сложить (вычесть) матрицы, умножить на число?

3. Какие действия с матрицами называют линейными?

4. Перечислить свойства линейных операций.

5. Сформулировать правило умножения матриц.

6. Перечислить свойства произведения матриц.

7. Дать определение минора элемента определителя.

8. Перечислить основные свойства определителей.

Лекция №2. Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений

2.1. Формулы Крамера.

2.2. Обратная матрица.

2.3. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений и ее решение методом обратной матрицы.

2.4. Элементарные преобразования матрицы.

2.5. Ранг матрицы.