51.1. Статистическая гипотеза

В процессе работы по статистической обработке данных необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид К, то выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону К.

Если закон распределения известен, то наверняка неизвестны его параметры. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен определенному значению, то выдвигают гипотезу, что.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Примеры статистических гипотез:

1. генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;

2. дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают противоречащую ей гипотезу.

Основной (нулевой) называют гипотезу .

Альтернативной (конкурирующей) называют гипотезу , которая противоречит нулевой гипотезе.

Выдвинутая гипотеза может быть как верной, так и неверной. Проверку гипотезы производят статистическими методами. При этом могут быть допущены ошибки первого и второго рода. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Вероятность совершить ошибку первого рода обозначают , ее называютуровнем значимости. Обычно или

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, приближенное распределение которой известно. Обозначают эту случайную величину через Z, если она распределена нормально, через F, если распределена по закону Фишера, через Т, если распределена по закону Стьюдента, через , если распределена по закону «хи-квадрат».

51.2. Статистический критерий

Статистическим критерием называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по данным выборки вычисляют частные значения входящих в критерий величин и получают частное значение критерия.

Наблюдаемым значением называют значение критерия, вычисленное по выборкам.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Критерий К – одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу, следовательно, критическая область и область принятия решения также являются интервалами. Критическими точками называют точки, отделяющие критическую область от области принятия решения.

Критическая область может быть двусторонней и односторонней (правосторонняя и левосторонняя).

Правосторонней называют критическую область, которая определяется неравенством

.

Левосторонней называют критическую область, которая определяется неравенством

.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами

Отыскание критической области сводится к нахождению критических точек. Чтобы найти критическую точку (или точки) задаются достаточно малой вероятностью – уровнем значимости . Затем ищут критическую точку, исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий примет значение, большее (или меньшее) , была равна принятому уровню значимости.

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым находят критическую точку, удовлетворяющую данному требованию.

Вывод: критическую область строят исходя из требования, что вероятность попадания в нее критерия была бы равна при условии, что нулевая гипотеза справедлива.

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Если уровень значимости выбран, то критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной.