20.1. Интегрирование по частям

Способ интегрирования по частям основан на формуле производной произведения

где функции от переменной

Пусть функции определены и дифференцируемы на некотором промежуткеи пусть функцияимеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежуткефункциятакже имеет первообразную и справедлива формула

Это есть формула интегрирования по частям.

Так как

то формулу интегрирования по частям можно записать в виде

Рассмотрим примеры:

1. 

2. 

3. 

20.2. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

На практике часто встречаются интегралы следующего вида

или

где многочлен не имеет вещественных корней, так что

Для того, чтобы привести интегралы такого вида к табличным, необходимо из трехчлена в знаменателе выделить полный квадрат

Это представление подсказывает подстановку откудаПоложим далееи перейдем к переменнойВ результате интеграл

преобразуется к виду

Если то интеграл преобразуется к виду

Интеграл

где многочлен не имеет вещественных корней, так чтопреобразуется к виду

Если то интеграл преобразуется к виду

Рассмотрим пример. Вычислить интеграл

Выделим в знаменателе полный квадрат

Сделаем подстановку откудапоэтому

Рассмотрим пример. Вычислить интеграл

Выделим в знаменателе полный квадрат

Сделаем подстановку

Тогда

Рассмотрим пример. Вычислить интеграл

Выделим в знаменателе полный квадрат

Сделаем подстановку

Тогда

Контрольные вопросы

1. По какой формуле осуществляется интегрирование по частям?

2. В каких случаях применяют метод интегрирования по частям?

3. Как привести интегралы, содержащие квадратный трехчлен к табличным интегралам?

4. К каким табличным интегралам чаще всего приводят интегралы, содержащие квадратный трехчлен?

Лекция №21. Методы интегрирования

21.1. Интегрирование элементарных дробей.

21.2. Интегрирование рациональных дробей.

21.1. Интегрирование элементарных дробей

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют рациональные функции, которые можно представить в виде дроби

где многочлены.

Если степень многочлена в числителе равна или больше степени многочлена в знаменателе, то, выполнив деление, получим

где многочлен,многочлен степени ниже, чем

Рассмотрим пример:

Если рациональная функция

имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то рациональная дробь называется правильной и ее можно разложить на элементарные дроби, если она не является таковой.

Простейшей или элементарной дробью называется дробь одного из следующих четырех типов

где постоянные числа;целое,

Многочлен может быть представлен в виде произведения

где коэффициент при старшей степени многочленакорни уравненияМножители

называются элементарными множителями.

Таким образом, рациональную функцию

можно представить в виде

где некоторые вещественные числа.

Чтобы определить числа умножим обе части разложения на. Равенство между многочленоми многочленом, который получится в правой части, должно быть справедливо для всех, тогда и коэффициенты, стоящие при равных степенях, должны быть равны между собой. Приравнивая их, получим систему уравнений первой степени, из которой найдем неизвестные числа.

Такой метод отыскания коэффициентов разложения рациональной функции называется методом неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим пример.

Разложим рациональную функцию

на элементарные дроби.

Разложим на множители знаменатель, используя формулу разложения на множители квадратного трехчлена

,

где корни соответствующего однородного квадратного уравнения.

Разложим квадратный трехчлен на множители

следовательно

тогда

Таким образом,

Рассмотрим пример.

Найти разложение рациональной функции

на элементарные дроби.

Воспользуемся выше предложенной формулой разложения, получим

Умножим обе части равенства на в результате, получим

Составим систему, решая ее, найдем неизвестные

Искомое разложение имеет вид