44.5. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Противоположные события

Суммой событий называют событие, состоящее в появлении событияA, или события В, или обоих этих событий. Если два события А и В – несовместные, то – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Теорема: вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Сумма вероятностей событий образующих полную группу, равна единице

.

Любые два события полной группы несовместны.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу

44.6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие . Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.

Рассмотрим пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие ) если при первом испытании был извлечен черный шар (событие)

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

.

Если событие В не зависит от появления события , т.е. и – независимые, вероятность события не изменяет вероятности события . Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий

Рассмотрим пример. Необходимо найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет

тогда

44.7. Теорема сложения вероятностей для совместных событий

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пусть события и совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события , состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий и ? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события и могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий

Для зависимых событий

Если события и несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно,

Рассмотрим пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий совместно равны:

Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Примем за – попадание с 1-го орудия, за – попадание из 2-го орудия, и – события независимые. Следовательно,

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятностисобытия.