4.4. Скалярное произведение векторов, основные свойства и выражение в координатной форме

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Формулу для скалярного произведения векторов можно записать в виде

.

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, помноженному на алгебраическую проекцию другого вектора на направление первого.

Скалярное умножение нельзя распространить на случай трех сомножителей. Действительно, скалярное произведение двух векторов иесть число и если это число умножить на вектор, то в произведении получим вектор

коллинеарный с вектором

Свойства скалярного произведения векторов:

если

3. 

4. ;

5. 

Если рассматривать векторы в декартовой системе координат, то скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов

Используя полученное равенство, можно записать формулу для вычисления угла между векторами

Рассмотрим пример. Найти если

Так как

Рассмотрим пример. Найти угол между векторами иесли

Рассмотрим пример. Найти скалярное произведение

если

4.5. Векторное произведение векторов. Основные свойства векторного произведения векторов и выражение в координатной форме

Векторное произведение векторов и называется векторудовлетворяющий следующим условиям:

1. модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторахи

2. направление вектора перпендикулярно плоскости параллелограмма построенного на векторахи;

3. векторы ,ипосле приведения к общему началу ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты

Свойства векторного произведения векторов.

1. Векторное произведение не обладает переместительным свойством

2. Коллинеарность ненулевых векторов если

или или

3. Сочетательное свойство

4. Распределительное свойство

Если заданы векторы в декартовой системе координат, то их векторное произведение находят следующим образом

Рассмотрим пример. Найти векторное произведение двух векторов

4.6. Применение векторного произведения векторов к решению задач

Площадь параллелограмма построенного на векторах вычисляется по формуле

Площадь треугольника построенного на векторах вычисляется по формуле

Рассмотрим пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках

Найдем координаты векторов и, на которых построен треугольник

Векторное произведение векторов и

Вычислим площадь треугольника

4.7. Смешанное произведение векторов. Основные свойства смешанного произведения векторов и выражение в координатной форме

Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторана векторт.е.

Обращение в нуль смешанного произведения векторов есть признак компланарности векторов

Смешанное произведение трех векторов по модулю равно объему параллепипеда, построенного на этих векторах.

Свойства смешанного произведения трех векторов.

1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный

2. Свойство распределительности

3. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя

4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю

Пусть векторы заданы их разложениями по ортам

тогда смешанное произведение векторов