43.2. Теорема Эйлера. Операции над графами

Теорема (Эйлера.) Связный плоский граф с вершинами иребрами разбивает плоскость наобластей (включая внешнюю), причем

Путь называются Эйлеровым путем, если он содержит (проходит через) все ребра только один раз.

Граф, обладающий Эйлеро­вым циклом, называется эйлеровым или уникальным графом.

Плоские Эйлеровы графы можно изобразить одним росчерком пера, причем процесс изоб­ражения начинается и заканчивается в одной вершине.

Теорема. Граф является Эйлеровым тогда и только тогда, когда– связный граф, имеющий все четные вершины.

Для установления факта является ли граф уникальным, досрочно установить факт четности всех вершин графа.

Гамильтоновым путем (циклом) графа называетсяпуть (цикл), который проходит через каждую его вершину только один раз.

Граф, содержа­щий гамильтонов цикл, называется гамильтоновым.

Операции над графами.

Над графами, как и над любыми множествами можно выполнять операции объединения и пересечения.

Объединением графов и называется граф множество вершин которого, а мно­жество ребер

Пересечением графов и называется граф , множество вершин которого, а мно­жество ребер

Подграфом данного графа называется граф все вершины и ребра, которого являются подмно­жествами множества вершин и ребер этого графа.

Обозначения подграфа, его вершин и ребер можно так, как это принято для обозначения подмножеств или ввести другие буквы.

43.3. Способы задания графов

Способы задания графа. Изоморфные графы.

Графы могут задаваться следующими способами:

1) геометрическим способом – рисунки, схемы, диаграммы;

2) алгебраическим способом – перечислением вершин и ребер;

3) табличным способом;

4) матричным способом.

Человеку удобно работать с графом-рисунком, так как он может легко установить связь между вершинами в на­глядном виде с помощью ребер, изображаемых непрерывными линиями. Такое геометрическое представление плоского графа на­зывается его реализацией.

Для машинной обработки удобнее за­дать граф в алгебраической форме – перечислением (списком) вершин или ребер.

При переходе от алгебраического способа к геометриче­скому одному и тому же графу могут соответствовать различные изображения – изоморфные графы, при этом от правильного изоб­ражения зависит, например, свойство плоской реализуемости. Для этого нужно правильно задать сам граф.

Основным способом задания графа является перечисление всех его вершин и ребер. Но такое представление, во-первых, несим­метрично, во-вторых, для указания каждого ребра нужно еще раз выписывать соответ­ствующие вершины, что плохо с точки зрения сжатия и хранения информации.

При задании графа таблицей составляется таблица, состоящей из строк (вершины) и тстолбцов (ребра). На пересечении строк и столбцов пишутся соответствующие знаки, которые показывают отношение (инцидентность) вершины и ребра. Это может быть знаки “+” и “-”, числа 0,1,-1 и др.

Главным во всех способах задания графа (диаграммой, матрицей, таблицей) является указание соответствия между множествами вершин _t к ребер .

Пусть дан граф , где – вершины, а – ребра, среди которых могут и кратные ребра (есть вершины, которые соединяет несколько ребер).

Матрицей инцидентности данного графа будет таблица, состоящая из строк (вершины) и столбцов (ребра).

При рассмотрении неориентированного графа на пересечении строк и столбцов ставится число 1, если соответствующие вершина и ребро инцидентны и ставится число 0, они не инцидентны.

При рассмотрении ориентированного графа на пересечении строк и столбцов ставится число 1, если из вершины выходит соответствующее ее ребро. Если в вершину входит ребро, то ставят число -1. Если вершина не инцидентна ребру, то ставится число 0.

Очевидно, что в каждом столбце матрицы инцидентности долж­но быть только два ненулевых числа, так как ребро инцидентно двум вершинам. Число ненулевых элементов каждой строки – сте­пень соответствующей вершины.

Матрицы инцидентности прямоугольные, если число строк и столбцов различно. Если число вершин и ребер в графе одинаковое, то получается квадратная матрица.

Матрицу можно сделать квадратной для любого графа без кратных ребер. В таких случаях строки и столбцы изображают вершины. На пересечении строк и столбцов ставится число 1, если соответствующие вершины соединены ребром и ставится число 0, если вершины не соединены.

Для неориентированного графа ребра одновременно принадлежат или не принадлежат графу, так как символизируют одно и то же ребро. Матрица смеж­ности неориентированного графа является симметрической и не меняется при транспонировании.

Хотя формально каждая вершина всегда смежная сама с собой, в матрице смежности мы будем ставить 0, если у нее нет петли, и 1, если есть одна петля.

Если граф имеет матрицу смежности и не имеет петель, на главной диагонали у него всегда стоят нули.

Пример. Составить таблицу инцидентности для орграфа, который имеет 3 вершины и 4 ребра.

Таблица 8

Вершины	Ребра
	s	t	г	и
V1	-1	0	1	0
V2	0	1	-1	1
V3	1	-1	0	-1

Граф называется взвешенным или сетью, если каждому его ребру поставлено в соответствие некоторое число. Взвешенными графами могут быть схемы в электронике, электрические схемы, карты автомобильных и железных дорог и др. Например, на картах автодорог вершины являются населенными пунктами, ребра – дорогами, а весом – числа, равные расстоянию между населен­ными пунктами.

В основе процесса планирования лежит некоторый сценарий, представляющий собой сеть, состоящую из вершин – пошагово­го описания действий и дуг – отношений между ними. Такой граф дает возможность, сравнивая альтернативы, планировать действия для достижения поставленной цели.

Понятия-объекты и другие элементы предметной области мо­гут быть графически изображены в виде вершин, а отношения между ними – в виде дуг, связывающих эти вершины.