31.1. Задачи, приводящие к составлению и решению дифференциальных уравнений

В математике дифференциальные уравнения занимают особое место. Математическое исследование самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное явление, записывается в виде дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которые входит неизвестная функция, переменная, от которой она зависит и производные этой функции.

Дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные, в которых неизвестные функции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные уравнения, в частных производных, в которых неизвестные функции являются функциями двух и большего числа переменных. В общем виде дифференциальные уравнения можно записать следующим образом

где функция от переменных, порядок старшей производной в дифференциальном уравнении, называют порядком дифференциального уравнения.

31.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема Коши. Понятие об общем и частном решении дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Общий вид дифференциальных уравнений первого порядка

где независимая переменная,искомая функция, производная этой искомой функции.

Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно то оно примет вид

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Уравнение

можно записать в виде

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция которая, при подстановке в уравнение, обращает его в тождество.

Рассмотрим пример. Функция является решением уравненият.е.

При каких условиях уравнение имеет решение, даеттеорема Коши: если функция и ее частная производнаяопределены и непрерывны в некоторой областиплоскостито какова бы ни была внутренняя точкаобластив некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли данное уравнение решение.

Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку областипроходит единственная интегральная кривая.

Отыскание решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям, - одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называетсязадачей Коши. С геометрической точки зрения решить задачу Коши – значит, из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку плоскости

Общим решением дифференциального уравнения в областиплоскостиназывается функциязависящая оти произвольной постояннойесли она является решением уравненияпри любом значении постояннойи если при любых начальных условияхтаких, чтосуществует единственное значение постояннойтакое, что функцияудовлетворяет данным начальным условиям

Частным решением дифференциального уравнения в областиназывается функция которая получается из общего решенияпри определенном значении постоянной

Решение или интеграл, полученные из общего решения или общего интеграла при фиксированных значениях произвольных постоянных называется соответственно частным решением или частным интегралом дифференциального уравнения.

Рассмотрим пример. Уравнение первого порядка которое удовлетворяет всем условиям теоремы Коши, так какопределены и непрерывны на всей областиОбщее решение уравненияЕсли заданыначальные условия, то можно решить задачу Коши. Если тотогда частное решение

Рассмотрим пример:

Функция

непрерывны при следовательно, во всей областикроме осиэто уравнение удовлетворяет условиям Коши.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Его общим интегралом будет интеграл

где произвольная постоянная.

Уравнение вида

также уравнения, которые, с помощью алгебраических преобразований, приводятся к уравнениям с разделяющимся переменными. Разделение переменных выполняется следующим образом. Обе части уравнения

умножим на и, разделим на В результате получим уравнения с разделенными переменными

Рассмотрим пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Предположим, что и разделим обе части данного уравнения наполучим уравнение с разделенными переменными

Интегрируем данное уравнение, последовательно получим

Последнее равенство является общим интегралом исходного дифференциального уравнения. При его нахождении были приняты ограничения . Однако функцииявляется решениями исходного дифференциального уравнения, они получаются приТаким образом,– частные решения исходного уравнения.

Рассмотрим пример. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию

Запишем данное уравнение в дифференциальной форме

разделим переменные

Проинтегрируем последнее уравнение

Получили общее решение исходного уравнения. Использовав начальное условие, определим значение произвольной постоянной

Частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

Контрольные вопросы

1. Сформулировать задачи, приводящие к составлению и решению дифференциальных уравнений.

2. Записать общий вид дифференциальных уравнений с разделяющими переменными.

3. Дать определение общего и частного решения дифференциального уравнения.

Лекция №32. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

32.1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений первого порядка.

32.2. Однородные дифференциальные уравнения. Решение задачи Коши.